PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 3 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2012
Juca quer pintar os algarismos do número 2013, como na figura ao lado, de modo que cada região seja pintada com uma das cores branca, cinza ou preta e que regiões vizinhas tenham cores diferentes.
a) Observe que Juca pode pintar o algarismo 2 de 3 \times 2 \times 2 maneiras diferentes. De quantas maneiras diferentes ele pode pintar o algarismo 1?
b) De quantas maneiras diferentes Juca pode pintar o algarismo 3?
c) De quantas maneiras diferentes Juca pode pintar o algarismo 0?
d) Escreva uma expressão numérica que permita calcular de quantas maneiras Juca pode pintar o número 2013.
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Resolução comentada
Resolução comentada
a)
O algarismo 1 está dividido em duas regiões, uma acima e outra abaixo do segmento horizontal. Como elas compartilham uma fronteira, devem receber cores diferentes.
Para a região de cima, Juca pode escolher qualquer uma das três cores disponíveis. Feita essa escolha, sobram duas cores para a região de baixo. Pelo princípio multiplicativo, o número de maneiras de pintar o algarismo é
Juca pode pintar o algarismo 1 de 6 maneiras diferentes.
b)
No algarismo 3, a região central e as duas regiões à sua direita são vizinhas duas a duas. Portanto, essas três regiões precisam receber cores distintas. Há 3 escolhas para a primeira, 2 para a segunda e 1 para a terceira.
Restam as duas regiões das extremidades esquerdas, uma na parte superior e outra na inferior. Cada uma delas é vizinha de apenas uma região já pintada e, por isso, tem duas opções de cor, independentemente da outra.
Assim, o total é
Juca pode pintar o algarismo 3 de 24 maneiras diferentes.
c)
O algarismo 0 tem quatro regiões, dispostas em um ciclo. Vamos chamá-las de A, B, C e D, em sentido horário, começando pela superior esquerda. Cada região é vizinha das duas que estão ao seu lado, mas não da região oposta.
Há 3 escolhas para A e 2 para B. Para completar a pintura, separamos dois casos:
- Se C tiver a mesma cor de A, há uma escolha para C e duas para D.
- Se C tiver cor diferente da de A, ela também deverá ser diferente da de B. Assim, há uma escolha para C e apenas uma para D.
Logo,
Juca pode pintar o algarismo 0 de 18 maneiras diferentes.
d)
As escolhas de cores para algarismos diferentes são independentes, pois eles não têm regiões vizinhas entre si. Assim, aplicamos o princípio multiplicativo aos quatro totais, respeitando a ordem dos algarismos de 2013.
O algarismo 2 tem 3\times2\times2=12 pinturas, conforme o enunciado. Pelos itens anteriores, os algarismos 0, 1 e 3 têm, respectivamente, 18, 6 e 24 pinturas. Portanto,
Uma expressão é (3\times2\times2)\times18\times6\times24, que resulta em 31\,104 maneiras.
Assunto: Princípio fundamental da contagem.
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Fonte: OBMEP 2ª fase 2012 · Nível 3. Prova oficial ↗