Questão 3 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2011

Question

Sara recortou três tiras retangulares diferentes de papel.

Ilustração de uma menina sorrindo e segurando três tiras retangulares de papel em uma das mãos.

a) Ela recortou a primeira tira em três retângulos iguais, como na figura abaixo. Com esses retângulos, formou um quadrado de 36\text{ cm}^2 de área. Encontre as medidas dos lados dos retângulos que ela recortou.

Tira retangular dividida em três retângulos iguais por duas linhas verticais pontilhadas.

b) Ela recortou a segunda tira em seis retângulos de mesma largura e com eles formou um quadrado de 36\text{ cm}^2 de área, como na figura. Encontre o perímetro e a área do retângulo indicado com * .

Quadrado formado por seis retângulos de mesma largura: quatro externos formando uma moldura e dois internos horizontais no centro, sendo o inferior marcado com um asterisco.

c) As medidas da terceira tira eram 4{,}5\text{ cm} e 2\text{ cm}. Sara recortou essa tira em três pedaços e com eles formou um quadrado, como na figura. Qual é a área do triângulo indicado com * ?

Sequência de três etapas separadas por setas mostrando uma tira retangular dividida em três partes (um pentágono e dois triângulos retângulos, sendo o menor marcado com um asterisco) que são rearranjadas para formar um quadrado.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 3 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2011

Nível 1 · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

Sara recortou três tiras retangulares diferentes de papel.

Ilustração de uma menina sorrindo e segurando três tiras retangulares de papel em uma das mãos.

a) Ela recortou a primeira tira em três retângulos iguais, como na figura abaixo. Com esses retângulos, formou um quadrado de 36\text{ cm}^2 de área. Encontre as medidas dos lados dos retângulos que ela recortou.

Tira retangular dividida em três retângulos iguais por duas linhas verticais pontilhadas.

b) Ela recortou a segunda tira em seis retângulos de mesma largura e com eles formou um quadrado de 36\text{ cm}^2 de área, como na figura. Encontre o perímetro e a área do retângulo indicado com * .

Quadrado formado por seis retângulos de mesma largura: quatro externos formando uma moldura e dois internos horizontais no centro, sendo o inferior marcado com um asterisco.

c) As medidas da terceira tira eram 4{,}5\text{ cm} e 2\text{ cm}. Sara recortou essa tira em três pedaços e com eles formou um quadrado, como na figura. Qual é a área do triângulo indicado com * ?

Sequência de três etapas separadas por setas mostrando uma tira retangular dividida em três partes (um pentágono e dois triângulos retângulos, sendo o menor marcado com um asterisco) que são rearranjadas para formar um quadrado.

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a) Como o quadrado formado com os três retângulos recortados da primeira tira tem área 36\text{ cm}^2, seu lado mede 6\text{ cm}. Logo o comprimento dos retângulos é 6\text{ cm} e sua largura é um terço de seu comprimento, ou seja, 2\text{ cm}.

[Figura: Quadrado de lado 6\text{ cm} dividido horizontalmente em três retângulos congruentes de largura 2\text{ cm}.]

b) 1ª solução: Como no item anterior, o lado do quadrado formado com os seis retângulos recortados da segunda tira mede 6\text{ cm}. Como todos os retângulos tem a mesma largura, a figura mostra que essa largura é um quarto da medida do lado, isto é, 1{,}5\text{ cm}. As medidas dos outros retângulos são então determinadas imediatamente, como indicado. Em particular, as dimensões do retângulo destacado são 3\text{ cm} e 1{,}5\text{ cm}; logo seu perímetro é 1{,}5 + 1{,}5 + 3 + 3 = 9\text{ cm} e sua área é 1{,}5 \times 3 = 4{,}5\text{ cm}^2.

[Figura: Quadrado de lado 6\text{ cm} decomposto em seis retângulos, com medidas parciais indicadas e o retângulo central destacado com um asterisco.]

2ª solução: O quadrado pode ser decomposto em 16 quadradinhos de lado igual à largura da fita, como na figura à direita. Como o lado do quadrado mede 6\text{ cm}, o lado de cada quadradinho mede 1{,}5\text{ cm}. Logo os lados do retângulo destacado medem 1{,}5\text{ cm} e 3\text{ cm} e, como acima, seu perímetro é 9\text{ cm} e sua área é 4{,}5\text{ cm}^2.

[Figura: Malha quadriculada 4 \times 4 com o retângulo de 2 \times 1 quadradinhos destacado por um asterisco.]

Alternativamente, o quadrado pode ser decomposto em 8 retângulos congruentes ao retângulo destacado, conforme figura à esquerda. Como a área do quadrado é 36\text{ cm}^2, a área do retângulo destacado é 36 \div 8 = 4{,}5\text{ cm}^2.

[Figura: Quadrado dividido em 8 retângulos congruentes, com um deles marcado com um asterisco.]

c) Na figura abaixo mostramos o retângulo e o quadrado, com pontos correspondentes indicados com a mesma letra; por exemplo, o segmento AB à esquerda corresponde ao segmento A’B’ à direita. A área do retângulo é 2 \times 4{,}5 = 9\text{ cm}^2, que é também a área do quadrado; logo o lado do quadrado mede 3\text{ cm}. Desse modo, os segmentos A’B’ e B’F’ medem 3\text{ cm} e assim AB mede 3\text{ cm}. Como o lado do retângulo mede 4{,}5\text{ cm}, segue que BC mede 4{,}5 - 3 = 1{,}5\text{ cm}, que é então a medida de B’C’. Finalmente, a medida de A’B’ é a mesma que a de AD, que é 2\text{ cm}; logo a medida de B’G’ é 3 - 2 = 1\text{ cm}. Assim, obtemos as medidas BG = 1\text{ cm} e BC = 1{,}5\text{ cm} dos catetos do triângulo retângulo BCG, cuja área é então \frac{1}{2} \times 1 \times 1{,}5 = 0{,}75\text{ cm}^2.

[Figura: À esquerda, retângulo ACDF de 4{,}5\text{ cm} \times 2\text{ cm} dividido em peças, com o triângulo retângulo BCG marcado com asterisco; uma seta aponta para a direita, onde as peças são remontadas formando um quadrado de lado 3\text{ cm}.]

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Resolução comentada

a) O quadrado tem área 36\ \text{cm}^2, então seu lado mede 6\ \text{cm}. Os três retângulos iguais são empilhados para formar o quadrado, e cada um ocupa um terço dele.

Cada retângulo tem um lado igual ao lado do quadrado, 6\ \text{cm}. O outro lado é 6 \div 3 = 2\ \text{cm}.

Conferindo: a área de cada retângulo é 6\times 2=12\ \text{cm}^2, e três deles dão 36\ \text{cm}^2.

Os retângulos medem 6\ \text{cm} por 2\ \text{cm}.

b) O lado do quadrado é 6\ \text{cm}. Chame de x a largura comum dos retângulos.

Os quatro retângulos externos formam uma moldura em espiral. Sobra no centro um quadrado de lado 6-2x.

Esse quadrado central é dividido em dois retângulos iguais, cada um com largura x. Logo:

6-2x=2x \Rightarrow x=1{,}5\ \text{cm}

O retângulo com * mede então 1{,}5\ \text{cm} por 6-2\cdot1{,}5=3\ \text{cm}.

Perímetro: 2(3+1{,}5)=9\ \text{cm}.
Área: 3\times1{,}5=4{,}5\ \text{cm}^2.

Conferindo a área total: os quatro retângulos externos medem 4{,}5\times1{,}5=6{,}75\ \text{cm}^2 cada, o que dá 27\ \text{cm}^2. Os dois internos somam 9\ \text{cm}^2, e 27+9=36\ \text{cm}^2.

Perímetro =9\ \text{cm} e área =4{,}5\ \text{cm}^2.

c) A tira tem área 4{,}5\times2=9\ \text{cm}^2, então o quadrado tem lado 3\ \text{cm}.

No quadrado final, o triângulo grande tem catetos 3\ \text{cm} (horizontal) e 2\ \text{cm} (vertical, a altura da tira). A diagonal de corte sobe 2 para cada 3 na horizontal, ou seja, \frac{2}{3}.

Na tira original, o triângulo grande tem base 4{,}5-a, onde a é o comprimento do lado inferior do pentágono. Como a base mede 3, temos a=1{,}5\ \text{cm}.

O pentágono é só deslocado, então seu lado inferior continua medindo 1{,}5\ \text{cm}. No quadrado final, esse lado fica sobre o corte horizontal que limita o triângulo pequeno.

O triângulo pequeno tem a mesma inclinação da diagonal. Se o cateto vertical mede h, o horizontal mede \frac{3}{2}h. Esse cateto horizontal é o lado de 1{,}5\ \text{cm} do pentágono:

\frac{3}{2}h=1{,}5 \Rightarrow h=1\ \text{cm}

Os catetos do triângulo pequeno medem 1\ \text{cm} e 1{,}5\ \text{cm}. Sua área é:

\frac{1\times1{,}5}{2}=0{,}75\ \text{cm}^2

Conferindo: o triângulo grande tem \frac{3\times2}{2}=3\ \text{cm}^2. Os outros dois pedaços somam 9-3=6\ \text{cm}^2, o que bate com o pentágono (5{,}25) mais o triângulo pequeno (0{,}75).

A área do triângulo com * é 0{,}75\ \text{cm}^2.

Assuntos: Áreas e perímetros de polígonos, Triângulos: congruência e pontos notáveis.

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