Questão 1 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2011

Question

Sara recortou três tiras retangulares diferentes de papel.

Ilustração de Sara segurando tiras de papel retangulares

a) Ela recortou a primeira tira em três retângulos iguais, como na figura abaixo. Com esses retângulos, formou um quadrado de 36\ \text{cm}^2 de área. Encontre as medidas dos lados dos retângulos que ela recortou.

Tira retangular dividida por duas linhas verticais pontilhadas em três partes iguais

b) Ela recortou a segunda tira em seis retângulos de mesma largura e com eles formou um quadrado de 36\ \text{cm}^2 de área, como na figura. Encontre o perímetro e a área do retângulo indicado com \ast.

Quadrado formado por seis retângulos de mesma largura, com um retângulo central indicado por um asterisco

c) As medidas da terceira tira eram 4{,}5\ \text{cm} e 2\ \text{cm}. Sara recortou essa tira em três pedaços e com eles formou um quadrado, como na figura. Qual é a área do triângulo indicado com \ast?

Três etapas da reorganização das três peças de uma tira retangular para formar um quadrado, com setas indicando o movimento e o triângulo retângulo assinalado com um asterisco

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 1 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2011

Nível 2 · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

Sara recortou três tiras retangulares diferentes de papel.

Ilustração de Sara segurando tiras de papel retangulares

a) Ela recortou a primeira tira em três retângulos iguais, como na figura abaixo. Com esses retângulos, formou um quadrado de 36\ \text{cm}^2 de área. Encontre as medidas dos lados dos retângulos que ela recortou.

Tira retangular dividida por duas linhas verticais pontilhadas em três partes iguais

b) Ela recortou a segunda tira em seis retângulos de mesma largura e com eles formou um quadrado de 36\ \text{cm}^2 de área, como na figura. Encontre o perímetro e a área do retângulo indicado com \ast.

Quadrado formado por seis retângulos de mesma largura, com um retângulo central indicado por um asterisco

c) As medidas da terceira tira eram 4{,}5\ \text{cm} e 2\ \text{cm}. Sara recortou essa tira em três pedaços e com eles formou um quadrado, como na figura. Qual é a área do triângulo indicado com \ast?

Três etapas da reorganização das três peças de uma tira retangular para formar um quadrado, com setas indicando o movimento e o triângulo retângulo assinalado com um asterisco

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a) Como o quadrado formado com os três retângulos recortados da primeira tira tem área 36\text{ cm}^2, seu lado mede 6\text{ cm}. Logo o comprimento dos retângulos é 6\text{ cm} e sua largura é um terço de seu comprimento, ou seja, 2\text{ cm}. [Figura: Quadrado dividido horizontalmente em três retângulos congruentes, com comprimento de 6\text{ cm} indicado no topo e largura de 2\text{ cm} indicada para cada retângulo na lateral direita.]

b) 1ª solução: [Figura: Quadrado de lado 6 dividido em retângulos com medidas indicadas de 1{,}5, 3 e 4{,}5, com um retângulo destacado com um asterisco] Como no item anterior, o lado do quadrado formado com os seis retângulos recortados da segunda tira mede 6\text{ cm}. Como todos os retângulos tem a mesma largura, a figura mostra que essa largura é um quarto da medida do lado, isto é, 1{,}5\text{ cm}. As medidas dos outros retângulos são então determinadas imediatamente, como indicado. Em particular, as dimensões do retângulo destacado são 3\text{ cm} e 1{,}5\text{ cm}; logo seu perímetro é 1{,}5 + 1{,}5 + 3 + 3 = 9\text{ cm} e sua área é 1{,}5 \times 3 = 4{,}5\text{ cm}^2.

2ª solução: O quadrado pode ser decomposto em 16 quadradinhos de lado igual à largura da fita, como na figura à direita. Como o lado do quadrado mede 6\text{ cm}, o lado de cada quadradinho mede 1{,}5\text{ cm}. Logo os lados do retângulo destacado medem 1{,}5\text{ cm} e 3\text{ cm} e, como acima, seu perímetro é 9\text{ cm} e sua área é 4{,}5\text{ cm}^2. [Figura: Quadrado dividido em uma malha 4 \times 4 de 16 quadradinhos, com um retângulo formado por dois quadradinhos destacado com um asterisco.]

[Figura: Quadrado dividido em 8 retângulos congruentes, com um retângulo destacado com um asterisco.] Alternativamente, o quadrado pode ser decomposto em 8 retângulos congruentes ao retângulo destacado, conforme figura à esquerda. Como a área do quadrado é 36\text{ cm}^2, a área do retângulo destacado é 36 \div 8 = 4{,}5\text{ cm}^2.

c) Na figura abaixo mostramos o retângulo e o quadrado, com pontos correspondentes indicados com a mesma letra; por exemplo, o segmento AB à esquerda corresponde ao segmento A’B’à direita. A área do retângulo é 2 \times 4{,}5 = 9\text{ cm}^2, que é também a área do quadrado; logo o lado do quadrado mede 3\text{ cm}. Desse modo, os segmentos A’B’ e B’F’ medem 3\text{ cm} e assim AB mede 3\text{ cm}. Como o lado do retângulo mede 4{,}5\text{ cm}, segue que BC mede 4{,}5 - 3 = 1{,}5\text{ cm}, que é então a medida de B’C’. Finalmente, a medida de A’B é a mesma que a de AD, que é 2\text{ cm}; logo a medida de B’C’ é 3 - 2 = 1\text{ cm}. Assim, obtemos as medidas BG = 1\text{ cm} e BC = 1{,}5\text{ cm} dos catetos do triângulo retângulo BCG, cuja área é então \frac{1}{2} \times 1 \times 1{,}5 = 0{,}75\text{ cm}^2.

[Figura: À esquerda, retângulo de vértices A, C, F, D com pontos B no lado superior, E no inferior e G no interior, formando o triângulo BCG destacado com um asterisco; uma seta aponta para o quadrado à direita de vértices A', B', F', G', com pontos B'=D' e C'=E' indicados.]

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Resolução comentada

a) O quadrado de área 36\ \text{cm}^2 tem lado 6\ \text{cm}. Três retângulos iguais formam um quadrado quando são empilhados, com o lado maior igual ao lado do quadrado. Cada retângulo mede então 6\ \text{cm} de comprimento, e três alturas somam 6. Logo a altura é 6\div 3=2\ \text{cm}. Conferindo: 3\cdot(6\cdot 2)=36. A tira original media 18\times 2.

Os retângulos medem 6\ \text{cm} por 2\ \text{cm}.

b) O quadrado tem lado 6\ \text{cm}. Chame de x a largura comum dos seis retângulos.

Na figura, quatro retângulos formam uma moldura em torno de um quadrado central. Cada um deles tem largura x e comprimento 6-x (a moldura gira como um cata-vento). O quadrado central tem lado 6-2x e é dividido em dois retângulos iguais, de largura x. Portanto o lado do quadrado central é o dobro da largura:

6-2x=2x \Rightarrow x=1{,}5\ \text{cm}.

O retângulo \ast tem largura 1{,}5\ \text{cm} e comprimento 6-2x=3\ \text{cm}.

Perímetro: 2(3+1{,}5)=9\ \text{cm}.
Área: 3\cdot 1{,}5=4{,}5\ \text{cm}^2.

Conferindo a área total: quatro retângulos de 4{,}5\times1{,}5 e dois de 3\times1{,}5 dão 4\cdot6{,}75+2\cdot4{,}5=27+9=36. ✓

Perímetro =9\ \text{cm} e área =4{,}5\ \text{cm}^2.

c) A tira tem área 4{,}5\cdot2=9\ \text{cm}^2, então o quadrado tem lado 3\ \text{cm}. A altura passa de 2 para 3, e o pedaço de baixo desliza 1\ \text{cm} para baixo, ao longo da diagonal do corte.

A aresta vertical desse pedaço, que estava em x=4{,}5, passa para x=3, ou seja, o pedaço anda 1{,}5\ \text{cm} na horizontal. O deslocamento é então 1{,}5 na horizontal e 1 na vertical, e a inclinação da diagonal é \dfrac{1}{1{,}5}=\dfrac23.

O triângulo \ast é retângulo e tem um cateto horizontal de 4{,}5-3=1{,}5\ \text{cm}, pois fica à direita do corte vertical em x=3. Seu cateto vertical, pela inclinação da diagonal, vale 1{,}5\cdot\dfrac23=1\ \text{cm}.

\text{Área}=\frac{1{,}5\cdot 1}{2}=0{,}75\ \text{cm}^2.

A diagonal vai de (1{,}5;\,0) a (4{,}5;\,2), com 3 na horizontal e 2 na vertical, o que é coerente com a inclinação \frac23.

A área do triângulo é 0{,}75\ \text{cm}^2.

Assunto: Áreas e perímetros de polígonos.

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