Questão 4 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2011

Question

Cristina gosta de adivinhar em quais casinhas seus ratinhos Mingo, Lingo e Tingo irão se esconder, após ser aberta a gaiola em que eles moram. As casinhas são numeradas de 1 a 6 e dois ou mais ratinhos podem se esconder na mesma casinha. Ela registra suas previsões em cartões como os da figura, marcando um X em cada linha.

Ilustração de Cristina segurando um cartão preenchido com as marcações de Mingo na casinha 5, Lingo na casinha 2 e Tingo na casinha 5, com um balão de fala dizendo "Acertei!". Abaixo, seis casinhas numeradas de 1 a 6 mostram o ratinho L na casinha 2 e os ratinhos T e M na casinha 5.

a) De quantas maneiras Cristina pode preencher um cartão?

b) De quantas maneiras ela pode preencher um cartão, supondo que os ratinhos se esconderão em três casinhas diferentes?

c) De quantas maneiras ela pode preencher um cartão, supondo que dois ratinhos se esconderão em uma mesma casinha e o terceiro em uma casinha diferente?

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 4 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2011

Nível 1 · Matemática: Princípio fundamental da contagem

Cristina gosta de adivinhar em quais casinhas seus ratinhos Mingo, Lingo e Tingo irão se esconder, após ser aberta a gaiola em que eles moram. As casinhas são numeradas de 1 a 6 e dois ou mais ratinhos podem se esconder na mesma casinha. Ela registra suas previsões em cartões como os da figura, marcando um X em cada linha.

Ilustração de Cristina segurando um cartão preenchido com as marcações de Mingo na casinha 5, Lingo na casinha 2 e Tingo na casinha 5, com um balão de fala dizendo "Acertei!". Abaixo, seis casinhas numeradas de 1 a 6 mostram o ratinho L na casinha 2 e os ratinhos T e M na casinha 5.

a) De quantas maneiras Cristina pode preencher um cartão?

b) De quantas maneiras ela pode preencher um cartão, supondo que os ratinhos se esconderão em três casinhas diferentes?

c) De quantas maneiras ela pode preencher um cartão, supondo que dois ratinhos se esconderão em uma mesma casinha e o terceiro em uma casinha diferente?

Reportar erro na questão

Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a) Cristina pode preencher cada uma das três linhas do cartão de 6 maneiras diferentes; logo o número de maneiras de preencher o cartão é 6 \times 6 \times 6 = 216 .

b) Se os ratinhos escolhem casinhas diferentes, então o primeiro tem 6 escolhas possíveis, o segundo tem 5 escolhas possíveis e o terceiro tem 4. Logo o número de maneiras em que Cristina pode preencher o cartão é 6 \times 5 \times 4 = 120

c) 1^a solução: Há três pares de ratinhos: ML, MT e LT. Os cartões que Cristina deve preencher correspondem a um par de ratinhos escolher uma casinha e o terceiro ratinho escolher uma casinha diferente. Logo o número de cartões deve ser 3 \times 6 \times 5 = 90.

2^a solução: Para preencher um cartão supondo que dois ratinhos se esconderão na mesma casinha e o terceiro em uma casinha diferente, Cristina deve colocar duas marcas “X” em uma mesma coluna e uma marca “X” em uma coluna diferente. Para colocar as duas marcas “X” ela tem 6 escolhas de coluna e, depois disso, 3 maneiras de colocar os dois “X” nessa coluna (1^a e 2^a linhas, 1^a e 3^a linhas e 2^a e 3^a linhas), num total de 6 \times 3 = 18 maneiras. Isso feito, ela tem 5 escolhas para colocar o terceiro “X”, o que nos dá o total de 18 \times 5 = 90 cartões.

Observamos que a 1^a e a 2^a solução são essencialmente a mesma.

*3^a solução:*Os ratinhos podem se esconder nas casinhas de três maneiras diferentes:

os três na mesma casinha; temos aqui 6 possibilidades, uma para cada casinha;
os três em três casinhas diferentes; temos aqui 120 possibilidades, que calculamos no item (b);
dois em uma mesma casinha e o terceiro em uma outra casinha, que é o que queremos calcular.

Assim, para achar o número procurado, basta subtrair do número total de preenchimentos possíveis as possibilidades para os outros dois casos; o resultado é então 216 - 6 - 120 = 90, como antes.

Ver como a OBMEP publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

a) Cada ratinho pode se esconder em qualquer uma das 6 casinhas, e a escolha de um não limita a dos outros, já que podem dividir a mesma casinha. Pelo princípio multiplicativo, o cartão tem uma marca por linha, com 6 opções em cada uma:

6 \times 6 \times 6 = 216

216 maneiras.

b) Agora as três casinhas são diferentes entre si. Para Mingo há 6 opções. Para Lingo restam 5, pois não pode repetir a casinha de Mingo. Para Tingo restam 4, pois não pode repetir nenhuma das duas anteriores:

6 \times 5 \times 4 = 120

120 maneiras.

c) Aqui há exatamente dois ratinhos na mesma casinha e o terceiro em outra. Primeiro escolhemos qual ratinho fica sozinho: são 3 possibilidades (Mingo, Lingo ou Tingo). Os outros dois ficam juntos, em uma casinha qualquer: 6 opções. O ratinho sozinho vai para uma casinha diferente dessa: 5 opções.

3 \times 6 \times 5 = 90

Conferindo: os casos possíveis são três ratinhos em casinhas diferentes (120), exatamente dois juntos (90) e os três juntos (6). Somando, 120 + 90 + 6 = 216, que é o total do item a.

90 maneiras.

Assuntos: Princípio fundamental da contagem, Combinações e binômio de Newton.

Reportar erro na resolução

Ver como caiu na prova

Questão 4 no caderno Nível 1 da 2ª fase da OBMEP 2011

Fonte: OBMEP 2ª fase 2011 · Nível 1. Prova oficial ↗