PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 2 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2011
Juquinha marca pontos sobre uma circunferência e traça segmentos ligando alguns desses pontos. Ele chama um ponto de ponto-ímpar quando este está ligado a um número ímpar de pontos, e de ponto-par caso contrário. Por exemplo, na ilustração ao lado, ele escolheu cinco pontos e fez quatro ligações.
a) Juquinha marcou cinco pontos sobre uma circunferência e traçou todas as ligações possíveis, exceto uma. Quantos pontos-ímpares foram obtidos?
b) Juquinha marcou seis pontos em cada uma das circunferências a seguir. Em cada caso, mostre como obter o número de pontos-ímpares indicado com exatamente cinco ligações.
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| 0 pontos-ímpares | 2 pontos-ímpares | 4 pontos-ímpares | 6 pontos-ímpares |
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c) Explique por que Juquinha sempre encontrará um número par de pontos-ímpares, quaisquer que sejam o número de pontos que ele marcar e o número de ligações que ele traçar.
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Resolução comentada
Resolução comentada
a) Com 5 pontos, cada ponto pode ser ligado aos outros 4. Se todas as ligações fossem traçadas, cada ponto teria 4 ligações, um número par, e não haveria ponto-ímpar.
Ao retirar uma ligação, os dois pontos que ela unia perdem uma ligação cada um e passam a ter 3, que é ímpar. Os outros três pontos continuam com 4 ligações.
Portanto há 2 pontos-ímpares. Resposta: 2 pontos-ímpares.
b) Numere os pontos de 1 a 6, em sequência ao redor da circunferência. Em cada caso, trace exatamente 5 segmentos e confira o número de ligações de cada ponto.
- 0 pontos-ímpares: ligue 1-2, 2-3, 3-4, 4-5 e 5-1. Os pontos 1 a 5 têm 2 ligações cada, e o ponto 6 tem 0. Todos são pares.
- 2 pontos-ímpares: ligue 1-2, 2-3, 3-4, 4-5 e 5-6. Os pontos 1 e 6 têm 1 ligação, e os pontos 2, 3, 4 e 5 têm 2. Os ímpares são 1 e 6.
- 4 pontos-ímpares: ligue 1-2, 2-3, 3-1, 3-4 e 5-6. As ligações por ponto são: 1 tem 2, 2 tem 2, 3 tem 3, 4 tem 1, 5 tem 1 e 6 tem 1. Os ímpares são 3, 4, 5 e 6.
- 6 pontos-ímpares: ligue 1-2, 1-3, 1-4, 2-5 e 2-6. Os pontos 1 e 2 têm 3 ligações, e os pontos 3, 4, 5 e 6 têm 1. Todos são ímpares.
Resposta: as quatro construções acima, cada uma com exatamente 5 ligações.
c) Conte as ligações de cada ponto e some tudo. Cada segmento tem duas pontas e, por isso, é contado duas vezes nessa soma. Então a soma dos números de ligações de todos os pontos é igual a 2\times(\text{número de segmentos}), que é sempre par.
Nessa soma, os pontos-pares contribuem com números pares, e a soma de números pares é par. Assim, a parte da soma que vem dos pontos-ímpares também tem de ser par.
A soma de vários números ímpares só é par quando há uma quantidade par deles. Logo, o número de pontos-ímpares é sempre par.
Resposta: a soma dos números de ligações é o dobro do número de segmentos, logo é par; como os pontos-pares contribuem com soma par, os pontos-ímpares precisam ser em quantidade par.
Assuntos: Lógica e raciocínio lógico, Divisibilidade, MMC e MDC.
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Fonte: OBMEP 2ª fase 2011 · Nível 1. Prova oficial ↗