Solução oficial da OBMEP
a) 1a solução : A figura ao lado mostra como decompor a região ACDE em um quadrado CDEH e um triângulo AGE . Como CD = DE = 10 e AC = 20 , segue que AG = 10 . Logo a área do triângulo AGE é metade da área de um quadrado de lado 10, ou seja, é
[Figura: Esquema geométrico do polígono ABCDE com linhas pontilhadas estendendo o segmento AC até G e DE até G, formando o retângulo ACDG decomposto no triângulo AGE e no quadrado CDEH com medidas indicadas de 10 m.]
\frac{AG \times GE}{2} = \frac{10 \times 10}{2} = 50\text{ m}^2.
Como a área do quadrado CDEH é 10^2 = 100\text{ m}^2 , concluímos que a área da região ACDE é 100 + 50 = 150\text{ m}^2 .
Alternativamente, podemos calcular a área de ACDE como a diferença entre as áreas do retângulo ACDG e do triângulo AHE , ou seja, 20 \times 10 - \frac{10 \times 10}{2} = 150\text{ m}^2 .
2a solução : Podemos calcular a área do trapézio retângulo ACDE pela fórmula usual
\frac{(AC + DE) \times CD}{2} = \frac{(20 + 10) \times 10}{2} = 150\text{ m}^2
A área total do terreno é então
\text{área}(ACDE) + \text{área}(ABC) = 150 + 120 = 270\text{ m}^2.
b) 1a solução : Como o terreno tem 270\text{ m}^2 , ao dividi-lo em duas partes iguais cada uma das partes terá área de
[Figura: Esquema geométrico do terreno ABCDE com um segmento pontilhado AF dividindo o quadrilátero ACDE, onde F está sobre o lado CD.]
\frac{270}{2} = 135\text{ m}^2.
Desse modo, devemos ter
135 = \text{área}(ABCF) = \text{área}(ABC) + \text{área}(ACF) = 120 + \text{área}(ACF)
e vemos que \text{área}(ACF) = 15\text{ m}^2 . Por outro lado, a área do triângulo ACF é
\frac{AC \times CF}{2} = \frac{20 \times CF}{2} = 10 \times CF.
Portanto 10 \times CF = 15 e logo CF = 1{,}5\text{ m} .
2a solução : Como o terreno tem 270\text{ m}^2 , ao dividí-lo nas partes de mesma área ABCF e AFDE , cada parte terá área de 135\text{ m}^2 . Notamos que ABCF é um trapézio de bases AB e CF e de altura AC = 20 ; logo
135 = \text{área}(ABCF) = \frac{(12 + CF) \times 20}{2} = 120 + 10 \times CF
e segue que CF = 1{,}5 .
Ver como a OBMEP publicou Publicada pela banca.
Resolução comentada
a) Em ABC o ângulo em A é reto, então AB é altura relativa à base AC :
\frac{AB\cdot 20}{2}=120 \Rightarrow AB=12\ \text{m}.
A área de ABC já é dada. Falta a parte ACDE . Como AC\perp CD e DE\perp CD , os lados AC e ED são paralelos. Logo ACDE é um trapézio de bases AC=20 e ED=10 , com altura CD=10 :
\text{área}(ACDE)=\frac{(20+10)\cdot 10}{2}=150\ \text{m}^2.
A área total é 120+150=270\ \text{m}^2 .
Área total =270\ \text{m}^2 .
b) Cada parte deve ter 270/2=135\ \text{m}^2 .
Com a cerca AF , a parte de cima é o triângulo ABC mais o triângulo ACF . Então ACF precisa ter área
135-120=15\ \text{m}^2.
O triângulo ACF tem ângulo reto em C , com catetos AC=20 e CF :
\frac{20\cdot CF}{2}=15 \Rightarrow 10\,CF=15 \Rightarrow CF=1{,}5\ \text{m}.
Conferindo a parte de baixo: 150-15=135\ \text{m}^2 , como queríamos.
CF=1{,}5\ \text{m} .
Assuntos: Áreas e perímetros de polígonos , Triângulos: congruência e pontos notáveis .
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