Questão 2 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2008

Question

A figura ao lado representa o terreno de Dona Idalina. Esse terreno é dividido em duas partes por uma cerca, representada pelo segmento AC. A parte triangular ABC tem área igual a 120\ \text{m}^2.

Representação do terreno de Dona Idalina dividido pelo segmento tracejado AC, de 20 m, com indicação de ângulos retos nos vértices A (entre BA e AC), C (entre AC e CD) e D (entre CD e DE). O lado CD mede 10 m e DE mede 10 m.

(a) Qual é a área total do terreno?

(b) Dona Idalina quer fazer uma nova cerca, representada pelo segmento AF na figura, de modo a dividir o terreno em duas partes de mesma área. Qual deve ser a distância CF?

Terreno com a indicação da nova cerca representada pelo segmento tracejado AF, onde F é um ponto sobre o segmento CD.

Answer 1

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Questão 2 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2008

Nível 1 · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

A figura ao lado representa o terreno de Dona Idalina. Esse terreno é dividido em duas partes por uma cerca, representada pelo segmento AC. A parte triangular ABC tem área igual a 120\ \text{m}^2.

Representação do terreno de Dona Idalina dividido pelo segmento tracejado AC, de 20 m, com indicação de ângulos retos nos vértices A (entre BA e AC), C (entre AC e CD) e D (entre CD e DE). O lado CD mede 10 m e DE mede 10 m.

(a) Qual é a área total do terreno?

(b) Dona Idalina quer fazer uma nova cerca, representada pelo segmento AF na figura, de modo a dividir o terreno em duas partes de mesma área. Qual deve ser a distância CF?

Terreno com a indicação da nova cerca representada pelo segmento tracejado AF, onde F é um ponto sobre o segmento CD.

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a)

[Figura: Terreno poligonal ABCDE com construções geométricas auxiliares. O segmento AC (comprimento 20) divide a parte triangular superior ABC da parte inferior ACDE. Abaixo de AC, prolongam-se linhas tracejadas formando o retângulo ACDG. Uma linha vertical tracejada HE divide ACDG no quadrado CDEH à direita (com lados CD = DE = 10 m) e no retângulo AGHE à esquerda. O segmento AE forma o triângulo retângulo AGE, com ângulo reto em G.]

1ª solução: A figura ao lado mostra como decompor a região ACDE em um quadrado CDEH e um triângulo AGE. Como CD = DE = 10 e AC = 20, segue que AG = 10. Logo a área do triângulo AGE é metade da área de um quadrado de lado 10, ou seja, é

\frac{AG \times GE}{2} = \frac{10 \times 10}{2} = 50\text{ m}^2.

Como a área do quadrado CDEH é 10^2 = 100\text{ m}^2, concluímos que a área da região ACDE é 100 + 50 = 150\text{ m}^2.

Alternativamente, podemos calcular a área de ACDE como a diferença entre as áreas do retângulo ACDG e do triângulo AHE, ou seja, 20 \times 10 - \frac{10 \times 10}{2} = 150\text{ m}^2.

2ª solução: Podemos calcular a área do trapézio retângulo ACDE pela fórmula usual

\frac{(AC + DE) \times CD}{2} = \frac{(20 + 10) \times 10}{2} = 150\text{ m}^2

A área total do terreno é então

\text{área}(ACDE) + \text{área}(ABC) = 150 + 120 = 270\text{ m}^2.

b)

[Figura: Polígono ABCDE dividido por um segmento tracejado AF, com F sobre o lado CD, dividindo o terreno nas regiões ABCF e AFDE. Uma linha pontilhada AC indica a decomposição de ABCF nos triângulos ABC e ACF.]

1ª solução: Como o terreno tem 270\text{ m}^2, ao dividi-lo em duas partes iguais cada uma das partes terá área de

\frac{270}{2} = 135\text{ m}^2.

Desse modo, devemos ter

135 = \text{área}(ABCF) = \text{área}(ABC) + \text{área}(ACF) = 120 + \text{área}(ACF)

e vemos que \text{área}(ACF) = 15\text{ m}^2. Por outro lado, a área do triângulo ACF é

\frac{AC \times CF}{2} = \frac{20 \times CF}{2} = 10 \times CF.

Portanto 10 \times CF = 15 e logo CF = 1{,}5\text{ m}.

2ª solução: Como o terreno tem 270\text{ m}^2, ao dividí-lo nas partes de mesma área ABCF e AFDE, cada parte terá área de 135\text{ m}^2. Notamos que ABCF é um trapézio de bases AB e CF e de altura AC = 20; logo

135 = \text{área}(ABCF) = \frac{(12 + CF) \times 20}{2} = 120 + 10 \times CF

e segue que CF = 1{,}5.

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Resolução comentada

a) O triângulo ABC tem ângulo reto em A, então AB e AC são os catetos. Com AC = 20\ \text{m} e área 120\ \text{m}^2:

\frac{AB\cdot 20}{2}=120 \Rightarrow AB=12\ \text{m}.

O triângulo ABC não é o terreno inteiro. Falta a parte ACDE, que é um trapézio. Como AC \perp CD e CD \perp DE, os lados AC e ED são paralelos, e CD = 10\ \text{m} é a altura.

\text{área}(ACDE)=\frac{(20+10)\cdot 10}{2}=150\ \text{m}^2.

Área total: 120+150=270\ \text{m}^2.

Área total: 270\ \text{m}^2.

b) Cada parte deve ter 270/2 = 135\ \text{m}^2.

A parte de cima, com a nova cerca, é formada pelo triângulo ABC e pelo triângulo ACF. Esse segundo triângulo tem ângulo reto em C, pois F está sobre CD e AC \perp CD. Então:

120+\text{área}(ACF)=135 \Rightarrow \text{área}(ACF)=15\ \text{m}^2.

No triângulo ACF, a base é AC = 20 e a altura é CF:

\frac{20\cdot CF}{2}=15 \Rightarrow 10\cdot CF=15 \Rightarrow CF=1{,}5\ \text{m}.

Conferência: 1{,}5 < 10, então F está de fato sobre CD. A parte de baixo fica com 150-15=135\ \text{m}^2, igual à de cima.

CF = 1{,}5\ \text{m}.

Assunto: Áreas e perímetros de polígonos.

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Questão 2 no caderno Nível 1 da 2ª fase da OBMEP 2008

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