Xaveco está brincando de montar cubos grandes usando cubinhos menores, todos brancos e de mesmo tamanho.
(a) Primeiro ele montou um cubo com 27 cubinhos e pintou de cinza duas faces vizinhas desse cubo, como na figura 1. Quantos cubinhos ficaram sem nenhuma face pintada de cinza?
(b) A seguir, ele montou outro cubo com 27 cubinhos, mas dessa vez pintou de cinza duas faces opostas desse cubo. Quantos cubinhos ficaram sem nenhuma face pintada de cinza?
(c) Depois, ele montou um cubo com 64 cubinhos e pintou de cinza três faces desse cubo. Quais são os possíveis números de cubinhos que ficaram sem nenhuma face pintada de cinza?
(d) Para terminar, Xaveco montou mais um cubo e pintou de cinza algumas de suas faces, de modo que 96 cubinhos ficaram sem nenhuma face pintada. Quantos cubinhos ele usou e quantas faces do cubo maior ele pintou?
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Resolução comentada
a) Os cubinhos sem tinta são os que não estão na camada de cima nem na camada da face lateral direita. Tirando essas duas camadas, sobram 2 camadas na altura, 2 na largura e 3 na profundidade (a profundidade não perde nenhuma camada, pois as faces pintadas não são a da frente nem a de trás).
2\times 2\times 3 = 12
Resposta: 12 cubinhos.
b) Com duas faces opostas pintadas, perdemos duas camadas na mesma direção. Sobra uma única camada nessa direção, e nas outras duas direções continuam 3 cubinhos.
1\times 3\times 3 = 9
Resposta: 9 cubinhos.
c) Três faces de um cubo podem estar dispostas de dois modos: as três se encontram num mesmo vértice, ou duas delas são opostas e a terceira é vizinha de ambas.
Três faces que se encontram num vértice: perdemos uma camada em cada direção, sobrando 3\times3\times3=27.
Duas faces opostas e uma vizinha: perdemos duas camadas numa direção e uma em outra, sobrando 2\times 3\times 4 = 24.
Não existe outro modo de escolher três faces.
Resposta: 27 ou 24 cubinhos.
d) Seja n a aresta do cubo grande. Em cada direção podemos perder 0, 1 ou 2 camadas (nenhuma face pintada, uma face ou as duas faces opostas). Então os cubinhos sem tinta formam um bloco de dimensões (n-p_1)\times(n-p_2)\times(n-p_3), com p_i\in\{0,1,2\}, e esse produto deve ser 96.
Se n\ge 7, o bloco tem pelo menos (n-2)^3\ge125>96 cubinhos. Não serve.
Se n\le 5, os fatores só podem ser 3,4,5 (para n=5), ou menores. O produto 96=2^5\cdot3 exigiria o fator 6 ou o 8 (por exemplo, 4\cdot4\cdot6), o que não aparece. Para n=4 o máximo é 4^3=64<96. Não serve.
Se n=6, os fatores podem ser 4, 5 ou 6. Como 5 não divide 96, usamos 4\times4\times6=96. Isso dá p=(2,2,0).
Portanto o cubo tem aresta 6, ou seja, 6^3=216 cubinhos. Foram pintadas duas faces opostas numa direção e duas faces opostas em outra, totalizando 4 faces.
