Os círculos da figura abaixo foram preenchidos com os números de 1 a 7, de modo que todas as flechas apontam de um número menor para um maior. Neste caso, dizemos que a figura foi bem preenchida.
(a) Complete a figura abaixo com os números de 1 a 9 de modo que ela fique bem preenchida.
(b) De quantas maneiras a figura ao lado pode ser bem preenchida com os números de 1 a 5?
(c) De quantas maneiras a figura ao lado pode ser bem preenchida com os números de 1 a 7?
Reportar erro na questãoResolução comentada
Resolução comentada
a) O círculo do topo recebe flechas de todos os outros caminhos, então ele é o maior número: 9.
O círculo vazio da direita (chame de C) recebe flecha do 7, logo C>7. Como C<9, temos C=8.
O círculo abaixo do 2 tem de ser menor que 2, então vale 1.
Sobram 3,4,6 para a cadeia da esquerda (dois círculos abaixo do 5) e para o círculo vazio à direita de 7. Na cadeia, o círculo logo abaixo do 5 é menor que 5 e o último é menor que ele. Isso força 4 e 3, com o 4 embaixo do 5 e o 3 na base. O 6 vai para o círculo que sobra, ao lado do 7, e 6<8 está correto.
Resposta: topo 9; círculo da direita 8; cadeia da esquerda, de cima para baixo, 5,4,3; sob o 2, o 1; ao lado do 7, o 6.
b) O topo precisa ser o maior número: 5.
Restam 1,2,3,4 para o círculo da esquerda, o da direita e os dois da base. O círculo da direita recebe flechas dos dois de baixo, então é maior que ambos.
Escolho o número do círculo da esquerda, que não tem restrição além de ser menor que 5: 4 maneiras.
Dos três números restantes, o maior vai no círculo da direita: 1 maneira.
Os outros dois ocupam os dois círculos da base em qualquer ordem: 2 maneiras.
4\cdot 1\cdot 2=8
8 maneiras.
c) O topo é 7. Restam 1,\dots,6.
O círculo da esquerda do topo não tem restrição. O círculo à direita do topo (chame de R_1) é maior que todos os outros quatro círculos que estão abaixo dele, então é o maior desses cinco.
Escolho o número do círculo da esquerda do topo: 6 maneiras.
Dos cinco números restantes, o maior vai em R_1: 1 maneira.
Abaixo de R_1 há um círculo folha à esquerda e um círculo à direita que recebe flechas de dois da base. Escolho o número do folha à esquerda entre os 4 restantes: 4 maneiras.
Dos três números que sobram, o maior vai no círculo que recebe duas flechas, e os outros dois ocupam a base em qualquer ordem: 2 maneiras.
