PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 9 (Matemática) da 2ª fase do ITA 2027
Texto-base das questões 01 a 10 · Matemática
Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.
\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\} : denota o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
\overline{AB} : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
m(\overline{AB}) : denota o comprimento do segmento \overline{AB}.
Considere uma pirâmide reta cuja base é um hexágono regular de lado 4. As faces laterais dessa pirâmide são triângulos isósceles cujo ângulo do vértice superior é \frac{\pi}{6}. Traça-se uma seção plana na pirâmide de modo que essa seção passa pela diagonal maior da base e é paralela a uma das faces laterais. Calcule a área dessa seção.
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Resolução comentada
a) Coloque a base no plano z=0 com centro O na origem e vértices A_1=(4,0), A_2=(2,2\sqrt3), A_3=(-2,2\sqrt3), A_4=(-4,0), A_5=(-2,-2\sqrt3), A_6=(2,-2\sqrt3). O vértice da pirâmide é V=(0,0,h).
Altura. Seja \ell a aresta lateral. No triângulo isósceles de ângulo \frac{\pi}{6}, temos 4=2\ell\,\sen\frac{\pi}{12}, com \sen\frac{\pi}{12}=\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}. Logo \ell=2(\sqrt6+\sqrt2) e \ell^2=32+16\sqrt3. Como o circunraio da base é 4, h^2=\ell^2-16=16+16\sqrt3.
Qual diagonal. Para o plano ser paralelo à face VA_1A_2, a diagonal precisa ser paralela a essa face sem estar contida nela. Isso só ocorre com A_3A_6, que é paralela a A_1A_2. As diagonais A_1A_4 e A_2A_5 têm um ponto na face e fariam o plano coincidir com ela.
O plano. Seja p=\frac{\sqrt3}{2}x+\frac12 y a projeção horizontal sobre a normal da face VA_1A_2. A apótema da base é 2\sqrt3, então a face tem equação \frac{p}{2\sqrt3}+\frac zh=1. O plano paralelo que passa por O, e portanto por A_3A_6, é
Projeção da seção na base. Precisamos de z\ge0, isto é, p\le 0, e o plano deve ficar dentro da pirâmide. Isso dá:
- face VA_4A_5: p\ge-\sqrt3;
- face VA_3A_4: x\ge-2;
- face VA_5A_6: \sqrt3x+3y\ge-4\sqrt3, reta que passa por A_4 e A_6.
As demais faces não restringem a região. A projeção é o quadrilátero convexo A_3(-2,2\sqrt3), Q(-2,0), P(-1,-\sqrt3), A_6(2,-2\sqrt3).
Pelo método do cordão (shoelace), a soma dos termos é 4\sqrt3+2\sqrt3+4\sqrt3+0=10\sqrt3. A área projetada é 5\sqrt3.
Área real. O plano forma com a base um ângulo \theta tal que
Assim, \frac{1}{\cos\theta}=\frac{2+\sqrt3}{\sqrt3} e
Área da seção: 10+5\sqrt3
Assuntos: Pirâmides e tronco de pirâmide, Geometria espacial de posição.
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Fonte: ITA 2ª fase 2027 · Matemática. Prova oficial ↗