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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 8 (Matemática) da 2ª fase do ITA 2027

Matemática · Matemática: Semelhança e Teorema de Tales

Texto-base das questões 01 a 10 · Matemática

Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\} : denota o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
\overline{AB} : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
m(\overline{AB}) : denota o comprimento do segmento \overline{AB}.

Considere um retângulo ABCD cujos lados medem m(AB) = 10 e m(BC) = 6. Um retângulo EFGH é inscrito em ABCD, com E pertencente ao lado \overline{AB} e distinto de A e B, e F pertencente ao lado \overline{BC} e distinto de B e C.

a) Se x representa a distância do ponto A ao ponto E, determine os possíveis valores de x.

b) Se a área de EFGH é 30, determine as medidas de seus lados.

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Resolução comentada

a) Sejam AE = x, BF = y, 0<x<10 e 0<y<6. Os vértices G\in\overline{CD} e H\in\overline{DA} completam o retângulo inscrito.

Como EFGH é retângulo, os ângulos em E somam 90^\circ: A\hat{E}H + B\hat{E}F = 90^\circ. Logo A\hat{E}H = B\hat{F}E e os triângulos AEH e BFE são semelhantes. Daí

\frac{AE}{BF}=\frac{AH}{BE}.

Os triângulos AEH e CGF são congruentes, porque EH = FG e os ângulos correspondentes são iguais. Então AH = CF = 6-y. Substituindo, \frac{x}{y}=\frac{6-y}{10-x}, ou seja,

x(10-x)=y(6-y).

Para 0<y<6, o lado direito vale no máximo 9 (em y=3) e é positivo. Qualquer valor em (0,9] é atingido por algum y. Então precisamos de

x(10-x)\le 9 \iff x^2-10x+9\ge 0 \iff x\le 1 \ \text{ou}\ x\ge 9.

Com 0<x<10: 0<x\le 1 ou 9\le x<10.

x\in(0,1]\cup[9,10)

b) A área de EFGH é a área de ABCD menos a dos quatro triângulos. Os triângulos dos cantos são congruentes dois a dois, então:

S = 60 - x(6-y)-(10-x)y = 60-6x-10y+2xy.

Igualando a 30:

xy-3x-5y+15=0 \iff (x-5)(y-3)=0.
  • Se x=5: y(6-y)=25, impossível, pois y(6-y)\le 9.
  • Se y=3: x(10-x)=9, logo x=1 ou x=9.

Para x=1 e y=3 (o caso x=9 dá o mesmo retângulo, com os lados trocados):

EF=\sqrt{(10-1)^2+3^2}=\sqrt{90}=3\sqrt{10},\qquad FG=\sqrt{1^2+(6-3)^2}=\sqrt{10}.

Conferindo: 3\sqrt{10}\cdot\sqrt{10}=30.

Lados: \sqrt{10} e 3\sqrt{10}

Assuntos: Semelhança e Teorema de Tales, Inequações e desigualdades, Áreas e perímetros de polígonos.

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Fonte: ITA 2ª fase 2027 · Matemática. Prova oficial ↗