PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 10 (Matemática) da 2ª fase do ITA 2027
Texto-base das questões 01 a 10 · Matemática
Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.
\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\} : denota o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
\overline{AB} : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
m(\overline{AB}) : denota o comprimento do segmento \overline{AB}.
Considere a função f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} dada por
Determine todos os números inteiros k tais que a equação f(x) = k possua pelo menos uma solução real x pertencente ao primeiro ou ao terceiro quadrante do círculo trigonométrico.
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Resolução comentada
a) Primeiro simplificamos a função com \cos(2x)=2\cos^2x-1=1-2\sen^2x:
Como \sqrt{u^2}=|u|, temos
Seja s=\sen x+\cos x. Em cada quadrante os sinais de seno e cosseno são fixos, então f fica em função de s.
1º quadrante (0<x<\pi/2): seno e cosseno são positivos, logo |\cos x|+|\sen x|=s e
Aqui s=\sqrt2\,\sen(x+\pi/4) varia em (1,\sqrt2\,]. Portanto
Não há inteiro nesse intervalo.
3º quadrante (\pi<x<3\pi/2): seno e cosseno são negativos, logo |\cos x|+|\sen x|=-s e
Aqui s\in[-\sqrt2,-1), ou seja, -s\in(1,\sqrt2\,]. Portanto
Como f é contínua e assume todos os valores do intervalo, o único inteiro atingido é 3. Ele é atingido em x=5\pi/4 (onde s=-\sqrt2) e vale 2+\sqrt2, e como 3<2+\sqrt2 existe x no 3º quadrante com f(x)=3.
Se os extremos dos quadrantes fossem incluídos, f valeria \sqrt2-1 em 0 e \pi/2, e \sqrt2+1 em \pi e 3\pi/2. Nenhum desses valores é inteiro, então a conclusão não muda.
Resposta: k=3.
Assuntos: Ciclo trigonométrico e funções trigonométricas, Identidades, adição de arcos e arco duplo.
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Fonte: ITA 2ª fase 2027 · Matemática. Prova oficial ↗