PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 7 (Matemática) da 2ª fase do ITA 2027
Texto-base das questões 01 a 10 · Matemática
Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.
\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\} : denota o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
\overline{AB} : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
m(\overline{AB}) : denota o comprimento do segmento \overline{AB}.
Determine todos os valores inteiros n tais que o quociente
seja um número inteiro.
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Resolução comentada
a) Primeiro faça a divisão de polinômios. Como 2n^3-5n^2-52n+90=(n^2-2n-27)(2n-1)+63, o quociente é 2n-1 e o resto é 63. Logo:
Como 2n-1 é inteiro para n inteiro, o quociente é inteiro se, e somente se, \dfrac{63}{n^2-2n-27} é inteiro. Ou seja, d=n^2-2n-27 tem de ser divisor de 63.
O denominador nunca se anula para n inteiro, pois o discriminante de n^2-2n-27 é 112, que não é quadrado perfeito.
Completando o quadrado, d=(n-1)^2-28, ou seja, (n-1)^2=d+28. Os divisores de 63 são \pm1,\pm3,\pm7,\pm9,\pm21,\pm63, e d+28 precisa ser quadrado perfeito:
- d=1,-1,3,7,-7,9,-9,-21,63: d+28 vale 29,27,31,35,21,37,19,7,91, nenhum quadrado perfeito.
- d=-63: d+28=-35<0, impossível.
- d=-3: (n-1)^2=25, logo n-1=\pm5 e n=6 ou n=-4.
- d=21: (n-1)^2=49, logo n-1=\pm7 e n=8 ou n=-6.
Conferindo: para n=6 o quociente é 11+63/(-3)=-10; para n=-4 é -9-21=-30; para n=8 é 15+3=18; para n=-6 é -13+3=-10. Todos são inteiros.
n\in\{-6,-4,6,8\}
Assuntos: Divisibilidade, MMC e MDC, Polinômios.
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Fonte: ITA 2ª fase 2027 · Matemática. Prova oficial ↗