PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 6 (Matemática) da 2ª fase do ITA 2027
Texto-base das questões 01 a 10 · Matemática
Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.
\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\} : denota o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
\overline{AB} : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
m(\overline{AB}) : denota o comprimento do segmento \overline{AB}.
Determine quantas sêxtuplas ordenadas de números naturais (x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6) satisfazem o sistema
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Resolução comentada
a) Chame x_6=t e S=x_3+x_4+x_5. Como x_3,x_4,x_5 aparecem sempre com os mesmos coeficientes nas três equações, o sistema vira, nas incógnitas x_1,x_2,S,t:
- Subtraindo a 1ª da 2ª: x_2+S+t=22, ou seja, x_2+S=22-t.
- Na 1ª equação: x_1=30-3t-(22-t)=8-2t.
- Na 3ª equação: 2(8-2t)+2x_2+3S+7t=76, logo 2x_2+3S=60-3t.
- Substituindo x_2=22-t-S: 44-2t-2S+3S=60-3t, então S=16-t.
- Daí x_2=22-t-(16-t)=6.
Como os números são naturais (maiores ou iguais a 1), x_1=8-2t\ge 1 dá t\le 3. Então t\in\{1,2,3\}, e x_1 e x_2 ficam determinados.
Falta contar as ternas (x_3,x_4,x_5) de naturais com soma S=16-t. O número de soluções de x_3+x_4+x_5=S em naturais é \binom{S-1}{2}.
- t=1: S=15, que dá \binom{14}{2}=91.
- t=2: S=14, que dá \binom{13}{2}=78.
- t=3: S=13, que dá \binom{12}{2}=66.
Total: 91+78+66=235.
Resposta: 235 sêxtuplas.
Assuntos: Combinações e binômio de Newton, Sistemas lineares.
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Fonte: ITA 2ª fase 2027 · Matemática. Prova oficial ↗