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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 5 (Matemática) da 2ª fase do ITA 2027

Matemática · Matemática: Cônicas e lugares geométricos

Texto-base das questões 01 a 10 · Matemática

Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\} : denota o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
\overline{AB} : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
m(\overline{AB}) : denota o comprimento do segmento \overline{AB}.

Seja ABC um triângulo no plano cartesiano com vértices na elipse de equação 2x^2 + y^2 = 6. Sabendo que os vértices A e B têm abscissa 1 e que o perímetro de ABC é 10, determine a abscissa do vértice C.

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Resolução comentada

a) Primeiro, ache os vértices A e B. Com x=1 na elipse, 2+y^2=6, logo y=\pm2. Então A=(1,2) e B=(1,-2), e m(\overline{AB})=4.

Como o perímetro é 10, temos AC+BC=6.

Seja C=(x,y) com y^2=6-2x^2. Calculando os quadrados das distâncias:

AC^2=(x-1)^2+(y-2)^2=S-4y,\qquad BC^2=(x-1)^2+(y+2)^2=S+4y,

onde, usando y^2=6-2x^2,

S=(x-1)^2+y^2+4=11-2x-x^2.

Elevando AC+BC=6 ao quadrado:

AC^2+BC^2+2\,AC\cdot BC=36 \Rightarrow 2S+2\sqrt{S^2-16y^2}=36 \Rightarrow \sqrt{S^2-16y^2}=18-S.

Elevando de novo ao quadrado (com 18-S\ge0):

S^2-16y^2=324-36S+S^2 \Rightarrow 36S=324+16y^2=324+16(6-2x^2)=420-32x^2.

Logo S=\dfrac{105-8x^2}{9}. Igualando a S=11-2x-x^2:

99-18x-9x^2=105-8x^2 \Rightarrow x^2+18x+6=0 \Rightarrow x=-9\pm5\sqrt3.

Como C está na elipse, |x|\le\sqrt3. A raiz -9-5\sqrt3\approx-17{,}7 não serve. A raiz -9+5\sqrt3\approx-0{,}34 serve: nesse valor S\approx11{,}56<18, então a condição 18-S\ge0 é satisfeita.

A abscissa de C é x=5\sqrt3-9.

Assuntos: Cônicas e lugares geométricos, Ponto e reta no plano cartesiano.

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Fonte: ITA 2ª fase 2027 · Matemática. Prova oficial ↗