PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 4 (Matemática) da 2ª fase do ITA 2027
Texto-base das questões 01 a 10 · Matemática
Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.
\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\} : denota o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
\overline{AB} : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
m(\overline{AB}) : denota o comprimento do segmento \overline{AB}.
Considere o polinômio p(x) = x^7 + 3ax^6 - x^5 - 5ax^4 + 7x^3 - 7ax^2 + 9x + a, em que a é um número real. Sabendo que p(x) é divisível pelo polinômio q(x) = x^3 - 3x - 2, determine todas as raízes de p(x).
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Resolução comentada
a) Fatore o divisor: q(x)=x^3-3x-2=(x+1)^2(x-2), pois (x^2+2x+1)(x-2)=x^3-3x-2. Como p é divisível por q, -1 e 2 são raízes de p.
De p(-1)=0:
Confirmando com p(2)=0: 170+85a=0\Rightarrow a=-2. O valor é o mesmo.
Com a=-2: p(x)=x^7-6x^6-x^5+10x^4+7x^3+14x^2+9x-2.
Dividindo p por q, o quociente tem grau 4. Escreva x^4+bx^3+cx^2+dx+e e compare os coeficientes de (x^3-3x-2)(x^4+bx^3+cx^2+dx+e) com os de p:
- x^6: b=-6
- x^5: c-3=-1\Rightarrow c=2
- x^4: d-3b-2=10\Rightarrow d=-6
- x^3: e-3c-2b=7\Rightarrow e=1
Os coeficientes de x^2, x e do termo independente conferem: 14, 9 e -2.
Assim, p(x)=(x+1)^2(x-2)\,(x^4-6x^3+2x^2-6x+1).
O quociente é recíproco (coeficientes simétricos). Dividindo por x^2 e fazendo t=x+\frac1x, temos x^2+\frac1{x^2}=t^2-2:
- t=0: x^2+1=0\Rightarrow x=\pm i.
- t=6: x^2-6x+1=0\Rightarrow x=3\pm2\sqrt2.
O grau é 7 e contamos 2+1+4=7 raízes, então não falta nenhuma.
Com a=-2, as raízes de p são -1 (dupla), 2, i, -i, 3+2\sqrt2 e 3-2\sqrt2.
Assuntos: Equações polinomiais e relações de Girard, Polinômios.
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Fonte: ITA 2ª fase 2027 · Matemática. Prova oficial ↗