PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 3 (Matemática) da 2ª fase do ITA 2027
Texto-base das questões 01 a 10 · Matemática
Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.
\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\} : denota o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
\overline{AB} : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
m(\overline{AB}) : denota o comprimento do segmento \overline{AB}.
Seja r um número real positivo. No plano complexo, considere o polígono cujos vértices são as oito raízes da equação r+iz^8 = 0. Sabendo que a área desse polígono é \sqrt{2}, determine o comprimento de seus lados e o valor de r.
Reportar erro na questão
Resolução comentada
a) Primeiro isolamos z^8: de r+iz^8=0 vem z^8=-\dfrac{r}{i}=ri.
Logo |z|^8=r, ou seja, |z|=r^{1/8}. As oito raízes ficam sobre a circunferência de raio R=r^{1/8} e estão igualmente espaçadas em argumento (diferença de 2\pi/8=45^\circ). O polígono é, portanto, um octógono regular inscrito nessa circunferência.
A área do octógono é a soma de 8 triângulos isósceles de lados R, R e ângulo 45^\circ entre eles:
Como A=\sqrt2, temos 2\sqrt2R^2=\sqrt2, e então R^2=\dfrac12.
Lado: pela lei dos cossenos no triângulo central,
Assim, \ell=\sqrt{\dfrac{2-\sqrt2}{2}}.
Valor de r: como r=R^8=(R^2)^4=\left(\dfrac12\right)^4, obtemos r=\dfrac1{16}.
Resposta: lado =\sqrt{\dfrac{2-\sqrt2}{2}} e r=\dfrac1{16}.
Assuntos: Números complexos, Áreas e perímetros de polígonos.
Reportar erro na resolução
Ver como caiu na prova
Fonte: ITA 2ª fase 2027 · Matemática. Prova oficial ↗