PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 2 (Matemática) da 2ª fase do ITA 2027
Texto-base das questões 01 a 10 · Matemática
Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.
\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\} : denota o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
\overline{AB} : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
m(\overline{AB}) : denota o comprimento do segmento \overline{AB}.
Determine todos os valores x \in \mathbb{R} tais que |\log_2(2^x + 2)| > |2x|.
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Resolução comentada
a) Como 2^x+2>2>1, temos \log_2(2^x+2)>1>0. O módulo do lado esquerdo pode ser retirado, e a desigualdade fica
Separamos em dois casos, usando t=2^x.
Caso x\ge 0. Aqui |2x|=2x e t\ge 1. Como \log_2 é crescente, a desigualdade equivale a
Como t+1>0, resta t<2, ou seja, x<1. Logo 0\le x<1.
Caso x<0. Aqui |2x|=-2x e 0<t<1. A desigualdade equivale a
Fatorando, t^3+2t^2-1=(t+1)(t^2+t-1). Como t+1>0, precisamos de t^2+t-1>0. As raízes são \frac{-1\pm\sqrt5}{2}, e com t>0 isso dá
Como \frac{\sqrt5-1}{2}\approx 0{,}618 está entre 0 e 1, a condição t<1 é compatível. Então
que é um número negativo (aproximadamente -0{,}69). Logo \log_2\frac{\sqrt5-1}{2}<x<0.
União dos casos:
Resposta: x\in\left(\log_2\frac{\sqrt5-1}{2},\,1\right).
Assuntos: Logaritmos e função logarítmica, Função modular, Função exponencial.
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Fonte: ITA 2ª fase 2027 · Matemática. Prova oficial ↗