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Questão 1 (Matemática) da 2ª fase do ITA 2027

Matemática · Matemática: Progressão aritmética

Texto-base das questões 01 a 10 · Matemática

Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\} : denota o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
\overline{AB} : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
m(\overline{AB}) : denota o comprimento do segmento \overline{AB}.

Descreva todas as progressões aritméticas de 10 números naturais cuja soma resulte em 435.

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Resolução comentada

a) Sejam a o primeiro termo e r a razão. Como todos os termos são naturais, a e r=a_2-a_1 são inteiros. A soma dos 10 termos é

S=\frac{(a_1+a_{10})\cdot 10}{2}=5\,(2a+9r)=435 \;\Rightarrow\; 2a+9r=87.

Como 87 é ímpar e 2a é par, 9r precisa ser ímpar, logo r é ímpar. Em particular r\neq 0. Isolando a:

a=\frac{87-9r}{2}.

Caso r>0 (crescente). O menor termo é a, e precisamos de a\ge 1:

87-9r\ge 2 \Rightarrow r\le \frac{85}{9}\approx 9{,}4.

Os valores ímpares possíveis são r=1,3,5,7,9, que dão a=39,\,30,\,21,\,12,\,3.

Caso r<0 (decrescente). O menor termo é o último, a_{10}=a+9r=\dfrac{87+9r}{2}\ge 1, o que dá r\ge-\dfrac{85}{9}. Os valores ímpares possíveis são r=-1,-3,-5,-7,-9, com a=48,\,57,\,66,\,75,\,84. Essas progressões são as anteriores escritas na ordem inversa.

Conferindo, para r=1: 39+\dots+48=\dfrac{(39+48)\cdot10}{2}=435. As outras também fecham:

  • r=3: 30,\dots,57, e (30+57)\cdot5=435.
  • r=5: 21,\dots,66, e (21+66)\cdot5=435.
  • r=7: 12,\dots,75, e (12+75)\cdot5=435.
  • r=9: 3,\dots,84, e (3+84)\cdot5=435.

Portanto, existem 10 progressões. Cinco são crescentes, com (a,r)=(39,1),(30,3),(21,5),(12,7),(3,9). As outras cinco são as mesmas em ordem inversa, com (a,r)=(48,-1),(57,-3),(66,-5),(75,-7),(84,-9).

Resposta: são as PAs com 2a_1+9r=87 e r ímpar, |r|\le 9. As crescentes são (39,1), (30,3), (21,5), (12,7) e (3,9), e as decrescentes são as mesmas em ordem inversa. No total, 10 PAs, ou 5 se contarmos apenas as de razão positiva.

Assuntos: Progressão aritmética, Divisibilidade, MMC e MDC.

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Fonte: ITA 2ª fase 2027 · Matemática. Prova oficial ↗