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Questão 6 (Matemática) da 2ª fase do ITA 2026

Matemática · Matemática: Matrizes e determinantes

Texto-base das questões 01 a 10 · Matemática

Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\} : denota o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : denota o conjunto dos números complexos.
\overline{AB} : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
m(\overline{AB}) : denota o comprimento do segmento \overline{AB}.

Dados os números reais \alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_{n-1}, defina as matrizes A = (a_{ij}) e B = (b_{ij}), ambas de ordem n \times n, por

a_{ij} = \begin{cases} 0, & \text{se } j \ge i, \\ \alpha_j^{i-j-1}, & \text{se } j < i \end{cases}
b_{ij} = \begin{cases} 1, & \text{se } j \ge i, \\ 0, & \text{se } j < i \end{cases}

Suponha que a soma dos elementos da coluna j da matriz AB seja igual a n - j.

a) Determine o determinante de AB.

b) Determine o traço de AB em função de n.

c) Supondo que n = 5, determine todos os possíveis valores de \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4 \in \mathbb{R}.

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Resolução comentada

a) A matriz A tem a_{ij}=0 para j\ge i, ou seja, é triangular inferior com diagonal nula. Logo \det A=0. Pelo teorema de Binet:

\det(AB)=\det A\cdot\det B=0.

\det(AB)=0

b) Como b_{jk}=1 quando j\le k e a_{ij}\neq 0 só para j<i, o elemento de AB é

(AB)_{ik}=\sum_{j\le k,\ j<i}\alpha_j^{\,i-j-1}.

A diagonal é (AB)_{ii}=\sum_{j<i}\alpha_j^{\,i-j-1}. Na última coluna, k=n\ge i, então a condição j\le n vale sempre e (AB)_{in}=\sum_{j<i}\alpha_j^{\,i-j-1}. Portanto a última coluna de AB é igual à diagonal de AB:

\operatorname{tr}(AB)=\sum_{i=1}^n (AB)_{ii}=\sum_{i=1}^n (AB)_{in}=\text{soma da coluna } n = n-n=0.

\operatorname{tr}(AB)=0

c) Seja T_j=\sum_{i=j+1}^{n}\alpha_j^{\,i-j-1}=1+\alpha_j+\dots+\alpha_j^{\,n-j-1} a soma da coluna j de A. A soma da coluna k de AB é S_k=T_1+\dots+T_k.

Para n=5, a hipótese S_k=5-k dá:

  1. S_1=4\Rightarrow T_1=4;
  2. S_2=3\Rightarrow T_2=-1;
  3. S_3=2\Rightarrow T_3=-1;
  4. S_4=1\Rightarrow T_4=-1.

Mas T_4 tem um único termo, \alpha_4^{0}=1. Então T_4=1 e não pode ser -1.

Há também outra forma de ver o problema: a coluna 5 de A é nula, logo S_5=S_4. A hipótese exigiria S_4=1 e S_5=0 ao mesmo tempo.

Assim, nenhuma escolha de \alpha_1,\dots,\alpha_4 satisfaz a condição, e o conjunto de valores possíveis é vazio.

Não existem valores reais \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4 que satisfaçam a hipótese (conjunto vazio).

Assuntos: Matrizes e determinantes, Progressão geométrica.

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Fonte: ITA 2ª fase 2026 · Matemática. Prova oficial ↗