PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 5 (Matemática) da 2ª fase do ITA 2026
Texto-base das questões 01 a 10 · Matemática
Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.
\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\} : denota o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : denota o conjunto dos números complexos.
\overline{AB} : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
m(\overline{AB}) : denota o comprimento do segmento \overline{AB}.
Quatro esferas idênticas, dispostas tangentes duas a duas, estão simultaneamente inscritas em uma única esfera maior, de modo que os centros das esferas menores formam um tetraedro regular. Calcule a razão entre o volume da esfera maior e a soma dos volumes das quatro esferas menores.
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Resolução comentada
a) Seja r o raio das esferas menores. Como elas são tangentes duas a duas, a distância entre dois centros é 2r, e os centros formam um tetraedro regular de aresta a=2r.
A esfera maior contém as quatro esferas, tangentes a ela internamente. Seu centro coincide com o centro do tetraedro, e seu raio é o circunraio do tetraedro mais r.
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Circunraio do tetraedro regular de aresta a: \dfrac{a\sqrt{6}}{4}. Com a=2r, fica \dfrac{2r\sqrt6}{4}=\dfrac{r\sqrt6}{2}.
(Para conferir: a altura é h=a\sqrt{6}/3, e o circunraio vale 3h/4.)
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Raio da esfera maior:
R=r+\frac{r\sqrt6}{2}=\frac{r\,(2+\sqrt6)}{2}. -
Razão entre os volumes:
\frac{V_{\text{maior}}}{4V_{\text{menor}}}=\frac{\frac43\pi R^3}{4\cdot\frac43\pi r^3}=\frac{1}{4}\left(\frac{R}{r}\right)^3=\frac{(2+\sqrt6)^3}{4\cdot 8}=\frac{(2+\sqrt6)^3}{32}. -
Desenvolvendo: (2+\sqrt6)^2=10+4\sqrt6, e então (10+4\sqrt6)(2+\sqrt6)=44+18\sqrt6. Logo
\frac{44+18\sqrt6}{32}=\frac{22+9\sqrt6}{16}\approx 2{,}75.
Razão =\dfrac{22+9\sqrt6}{16}
Assuntos: Esfera, Pirâmides e tronco de pirâmide.
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Fonte: ITA 2ª fase 2026 · Matemática. Prova oficial ↗