PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 7 (Matemática) da 2ª fase do ITA 2026
Texto-base das questões 01 a 10 · Matemática
Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.
\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\} : denota o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : denota o conjunto dos números complexos.
\overline{AB} : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
m(\overline{AB}) : denota o comprimento do segmento \overline{AB}.
Seja p(x) um polinômio de grau quatro com coeficientes reais. A soma das raízes de p(x) é \frac{3}{2}, e o seu produto é -\frac{5}{2}. Determine todas as raízes de p(x) em \mathbb{C}, sabendo que o resto da divisão de p(x) por x^3 - x + 4 é igual a 9x^2 - 4x + 7.
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Resolução comentada
a) Como o divisor x^3-x+4 tem grau 3 e p tem grau 4, o quociente tem grau 1. Escrevemos q(x)=\alpha x+\beta com \alpha\neq 0 e p(x)=(x^3-x+4)(\alpha x+\beta)+9x^2-4x+7.
Expandindo:
Usamos agora as relações de Girard, com coeficiente líder \alpha:
- Soma das raízes: -\dfrac{\beta}{\alpha}=\dfrac32, logo \beta=-\dfrac{3\alpha}{2}.
- Produto das raízes (grau par): \dfrac{4\beta+7}{\alpha}=-\dfrac52, logo 4\beta+7=-\dfrac{5\alpha}{2}.
- Substituindo \beta: -6\alpha+7=-\dfrac{5\alpha}{2}, ou seja, \dfrac{7\alpha}{2}=7. Então \alpha=2 e \beta=-3.
Portanto:
Conferindo: soma =\dfrac32 e produto =-\dfrac52, como pedido.
Para achar as raízes, testamos as candidatas racionais \pm1,\pm5,\pm\frac12,\pm\frac52. Temos p(-1)=2+3+7-7-5=0, então -1 é raiz.
Dividindo por x+1 (Briot-Ruffini), o quociente é 2x^3-5x^2+12x-5.
Testando x=\frac12: \frac14-\frac54+6-5=0, então \frac12 é raiz. Fatorando:
As raízes de x^2-2x+5=0 são x=\dfrac{2\pm\sqrt{4-20}}{2}=1\pm 2i.
As raízes de p(x) são -1, \dfrac12, 1+2i e 1-2i.
Assuntos: Equações polinomiais e relações de Girard, Polinômios.
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Fonte: ITA 2ª fase 2026 · Matemática. Prova oficial ↗