PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 4 (Matemática) da 2ª fase do ITA 2026
Texto-base das questões 01 a 10 · Matemática
Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.
\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\} : denota o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : denota o conjunto dos números complexos.
\overline{AB} : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
m(\overline{AB}) : denota o comprimento do segmento \overline{AB}.
Um alvo é pintado em uma parede, composto de um círculo central e uma sequência de anéis concêntricos de cores alternadas entre vermelho e branco. O círculo central, pintado de vermelho, tem raio \alpha unidades. Cada círculo subsequente tem raio uma unidade maior que o anterior: \alpha + 1, depois \alpha + 2 e assim por diante. Determine a área total em vermelho em função de \alpha, sabendo que o alvo tem 33 círculos.
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Resolução comentada
a) Há 33 círculos, de raios \alpha,\ \alpha+1,\ \dots,\ \alpha+32. O círculo central (raio \alpha) é vermelho. Os anéis alternam de cor: o anel k fica entre os raios \alpha+k-1 e \alpha+k, com k=1,\dots,32.
O anel 1 é branco, o anel 2 é vermelho, o anel 3 é branco, e assim por diante. Logo, são vermelhos os anéis de índice par: k=2,4,\dots,32, ou seja, k=2j com j=1,\dots,16. O último anel (o 32) é vermelho.
A área do anel k é
Substituindo k=2j, cada anel vermelho tem área \pi(2\alpha+4j-1).
Somando os 16 anéis vermelhos:
Acrescentando o círculo central, de área \pi\alpha^2:
Área vermelha =\pi(\alpha^2+32\alpha+528) unidades de área.
Assuntos: Progressão aritmética, Círculo: comprimento, arcos e áreas.
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Fonte: ITA 2ª fase 2026 · Matemática. Prova oficial ↗