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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 3 (Matemática) da 2ª fase do ITA 2026

Matemática · Matemática: Ponto e reta no plano cartesiano

Texto-base das questões 01 a 10 · Matemática

Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\} : denota o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : denota o conjunto dos números complexos.
\overline{AB} : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
m(\overline{AB}) : denota o comprimento do segmento \overline{AB}.

As diagonais do paralelogramo ABCD estão contidas nas retas r : 2y - x = 2 e s : x + 2y = 8. As retas r e s se encontram no ponto X. Sabendo que C = (8, 5) e que a equação da circunferência inscrita no triângulo ABX é

\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \left(y - \frac{5}{2}\right)^2 = \frac{5}{4},

determine a área de ABCD.

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Resolução comentada

a) Primeiro achamos X, o ponto de encontro das diagonais. Somando as equações de r e s: 4y=10, logo y=\frac52 e x=3. Então X=\left(3,\frac52\right).

Como C=(8,5) satisfaz r (2\cdot5-8=2), a diagonal AC está em r e a diagonal BD está em s. Num paralelogramo as diagonais se cortam ao meio, então A=2X-C=(-2,0).

Agora vamos achar B. A circunferência inscrita tem centro I=\left(\frac12,\frac52\right) e raio \frac{\sqrt5}{2}. A reta AB passa por A e é tangente à circunferência. A outra tangente por A é a própria reta AX (reta r), de coeficiente angular \frac12. Escrevendo AB: y=m(x+2) e impondo distância \frac{\sqrt5}{2} ao centro:

\frac{\left|\frac52 m-\frac52\right|}{\sqrt{m^2+1}}=\frac{\sqrt5}{2}\ \Rightarrow\ 5(m-1)^2=m^2+1\ \Rightarrow\ 2m^2-5m+2=0

As raízes são m=\frac12 (a reta r) e m=2. Logo AB: y=2x+4.

Intersecção com s: x+2(2x+4)=8, então x=0 e y=4. Assim B=(0,4).

Conferindo: B está na reta s, e o triângulo ABX tem lados AB=2\sqrt5, AX=\frac{5\sqrt5}{2} e BX=\frac{3\sqrt5}{2}. O semiperímetro é 3\sqrt5 e a área é \frac{15}{2}, então o inraio vale \frac{15/2}{3\sqrt5}=\frac{\sqrt5}{2}, como no enunciado.

Área. Como X é o ponto médio das diagonais, as diagonais dividem ABCD em quatro triângulos de mesma área, e ABCD tem 4 vezes a área de ABX. Com \overrightarrow{AX}=\left(5,\frac52\right) e \overrightarrow{AB}=(2,4):

[ABX]=\frac12\left|5\cdot4-\frac52\cdot2\right|=\frac{15}{2}
[ABCD]=4\cdot\frac{15}{2}=30

A área de ABCD é 30.

Assuntos: Ponto e reta no plano cartesiano, Circunferência: ângulos, cordas e tangência, Áreas e perímetros de polígonos.

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Fonte: ITA 2ª fase 2026 · Matemática. Prova oficial ↗