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Questão 2 (Matemática) da 2ª fase do ITA 2026

Matemática · Matemática: Matrizes e determinantes

Texto-base das questões 01 a 10 · Matemática

Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\} : denota o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : denota o conjunto dos números complexos.
\overline{AB} : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
m(\overline{AB}) : denota o comprimento do segmento \overline{AB}.

Considere

A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.

Determine o menor n \in \mathbb{N} tal que a entrada na primeira linha e na terceira coluna de A^n seja maior que 119.

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Resolução comentada

a) Escreva A = I + N, com

N = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}.

Como I comuta com qualquer matriz, vale o binômio de Newton para (I+N)^n.

Calculando N^2: a primeira linha de N^2 é 0\cdot L_1 + 1\cdot L_2 + 2\cdot L_3 = (0,0,1), e as demais linhas são nulas. Logo

N^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}, \qquad N^3 = 0.

O binômio fica com só três termos:

A^n = I + nN + \binom{n}{2}N^2.

A entrada (1,3) vem de nN, que contribui com 2n, e de \binom{n}{2}N^2, que contribui com \binom{n}{2}. Então

a_{13}^{(n)} = 2n + \frac{n(n-1)}{2} = \frac{n^2+3n}{2}.

Queremos \dfrac{n^2+3n}{2} > 119, ou seja, n^2+3n > 238. A expressão é crescente em n, então basta testar valores:

  1. n=13: \dfrac{169+39}{2} = 104, que não é maior que 119.
  2. n=14: \dfrac{196+42}{2} = 119, que não é maior que 119.
  3. n=15: \dfrac{225+45}{2} = 135 > 119.

Portanto o menor n é 15.

Assunto: Matrizes e determinantes.

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Fonte: ITA 2ª fase 2026 · Matemática. Prova oficial ↗