PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 9 (Matemática) da 2ª fase do ITA 2025
Texto-base das questões 01 a 10 · Matemática
Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária. Os eixos horizontal e vertical são indicados respectivamente por O_x e O_y, e o centro do sistema, por O.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
\overline{AB} : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
AB : denota a reta que passa pelos pontos A e B.
m(\overline{AB}) : denota o comprimento do segmento \overline{AB}.
\max\{i, j\} : denota o maior dentre os valores i e j
\det A : denota o determinante da matriz A.
A^T : denota a transposta da matriz A.
A^{-1} : denota a inversa da matriz A.
(a_{ij}) : representa uma matriz cuja entrada na linha i e coluna j é indexada por a_{ij}.
Determine a quantidade de matrizes 5 \times 5 invertíveis e com entradas inteiras que satisfazem a propriedade A^{-1} = A^T.
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Resolução comentada
a) Se A^{-1}=A^T, então A^TA=I. Isso significa que as colunas de A são ortonormais: cada coluna tem norma 1 e colunas distintas têm produto escalar nulo.
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Cada coluna. A soma dos quadrados das 5 entradas da coluna é 1. Como as entradas são inteiras, os quadrados são 0 ou maiores ou iguais a 1. Logo, exatamente uma entrada é \pm 1 e as outras quatro são 0.
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Colunas distintas. Se duas colunas tivessem o \pm1 na mesma linha, o produto escalar delas seria \pm1\neq 0, o que é impossível. Então as posições dos \pm1 ficam em linhas diferentes. Como são 5 colunas e 5 linhas, cada linha recebe exatamente um \pm1.
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Contagem. Essas matrizes são as matrizes de permutação com sinais livres:
- escolher em qual linha fica o \pm1 de cada coluna é escolher uma permutação das linhas: 5!=120 modos;
- escolher o sinal de cada um dos 5 elementos não nulos: 2^5=32 modos.
Toda matriz assim satisfaz A^TA=I: as colunas são unitárias e ortogonais entre si. Portanto são invertíveis e A^{-1}=A^T.
Resposta: 3840 matrizes.
Assuntos: Matrizes e determinantes, Princípio fundamental da contagem.
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Fonte: ITA 2ª fase 2025 · Matemática. Prova oficial ↗