PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 10 (Matemática) da 2ª fase do ITA 2025
Texto-base das questões 01 a 10 · Matemática
Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária. Os eixos horizontal e vertical são indicados respectivamente por O_x e O_y, e o centro do sistema, por O.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
\overline{AB} : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
AB : denota a reta que passa pelos pontos A e B.
m(\overline{AB}) : denota o comprimento do segmento \overline{AB}.
\max\{i, j\} : denota o maior dentre os valores i e j
\det A : denota o determinante da matriz A.
A^T : denota a transposta da matriz A.
A^{-1} : denota a inversa da matriz A.
(a_{ij}) : representa uma matriz cuja entrada na linha i e coluna j é indexada por a_{ij}.
Calcule a área da projeção ortogonal de um cubo de aresta 2 sobre um plano perpendicular a uma das diagonais do cubo.
Reportar erro na questão
Resolução comentada
Use o fato de que a área da projeção ortogonal de uma face sobre um plano é a área da face multiplicada por \cos\theta, em que \theta é o ângulo entre o plano da face e o plano de projeção.
Posicione o cubo com um vértice na origem e arestas ao longo dos eixos, de (0,0,0) a (2,2,2). A diagonal tem direção d=(1,1,1), que é a normal do plano de projeção.
Vista ao longo da diagonal, a projeção do cubo cobre exatamente as projeções das 3 faces que o observador enxerga (as outras 3 ficam atrás delas). Essas três faces são perpendiculares aos eixos x, y e z, com normais (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1).
O ângulo entre os planos é o ângulo entre as normais. Para cada face:
Cada face tem área 2\cdot 2=4, e as três projeções não se sobrepõem (formam três losangos que compõem um hexágono regular). Logo:
Conferência pelo hexágono regular: o lado é a projeção de uma aresta, de comprimento 2\sqrt{1-\tfrac13}=2\sqrt{\tfrac23}. Então \ell^2=\tfrac83 e a área é \tfrac{3\sqrt3}{2}\ell^2=\tfrac{3\sqrt3}{2}\cdot\tfrac83=4\sqrt3, o mesmo resultado.
A área da projeção é 4\sqrt3.
Assunto: Vistas, projeções e planificações.
Reportar erro na resolução
Ver como caiu na prova
Fonte: ITA 2ª fase 2025 · Matemática. Prova oficial ↗