PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 8 (Matemática) da 2ª fase do ITA 2025
Texto-base das questões 01 a 10 · Matemática
Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária. Os eixos horizontal e vertical são indicados respectivamente por O_x e O_y, e o centro do sistema, por O.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
\overline{AB} : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
AB : denota a reta que passa pelos pontos A e B.
m(\overline{AB}) : denota o comprimento do segmento \overline{AB}.
\max\{i, j\} : denota o maior dentre os valores i e j
\det A : denota o determinante da matriz A.
A^T : denota a transposta da matriz A.
A^{-1} : denota a inversa da matriz A.
(a_{ij}) : representa uma matriz cuja entrada na linha i e coluna j é indexada por a_{ij}.
Seja A_k = (a_{ij}) uma matriz quadrada de ordem k, em que a_{ij} = \max\{i, j\} para todo i, j em \{1, 2, \cdots, k\}. Determine \sum_{k=1}^{2025} \det(A_k).
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Resolução comentada
a) Vamos calcular \det(A_k) por operações de linhas, que não mudam o determinante quando somamos múltiplos de outra linha.
A linha i de A_k é (i,\dots,i,\,i+1,\,i+2,\dots,k), com i nas primeiras i posições e j na coluna j para j>i.
- Para i=k,k-1,\dots,2, troque L_i por L_i-L_{i-1}. Na coluna j\le i-1 a diferença é i-(i-1)=1. Na coluna j=i é i-i=0. Para j>i é j-j=0. Assim, a nova linha i é (1,\dots,1,0,\dots,0), com i-1 uns. A linha 1 continua (1,2,\dots,k).
- Para i=k,\dots,3, troque L_i por L_i-L_{i-1} de novo (já com as linhas novas). Isso deixa a linha i igual a e_{i-1}, o vetor com 1 apenas na coluna i-1. A linha 2 já é e_1.
- Subtraindo da linha 1 os múltiplos de e_1,\dots,e_{k-1}, ela vira k\,e_k.
A matriz final tem a linha 1 igual a k\,e_k e a linha i igual a e_{i-1} para i\ge2. Ela é k vezes uma matriz de permutação cíclica de k elementos, cujo sinal é (-1)^{k-1}. Logo
Testes: \det A_1=1, \det A_2=\begin{vmatrix}1&2\\2&2\end{vmatrix}=-2 e \det A_3=3, como a fórmula prevê.
Agora a soma:
Os termos de 1 a 2024 formam 1012 pares (2m-1)-2m=-1, que somam -1012. Somando o último termo, 2025:
Resposta: 1013
Assunto: Matrizes e determinantes.
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Fonte: ITA 2ª fase 2025 · Matemática. Prova oficial ↗