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Questão 7 (Matemática) da 2ª fase do ITA 2025

Matemática · Matemática: Equações polinomiais e relações de Girard

Texto-base das questões 01 a 10 · Matemática

Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária. Os eixos horizontal e vertical são indicados respectivamente por O_x e O_y, e o centro do sistema, por O.

i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.

\overline{AB} : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.

AB : denota a reta que passa pelos pontos A e B.

m(\overline{AB}) : denota o comprimento do segmento \overline{AB}.

\max\{i, j\} : denota o maior dentre os valores i e j

\det A : denota o determinante da matriz A.

A^T : denota a transposta da matriz A.

A^{-1} : denota a inversa da matriz A.

(a_{ij}) : representa uma matriz cuja entrada na linha i e coluna j é indexada por a_{ij}.

Considere o polinômio p(x) = x^3 + ax^2 + b. Determine os valores reais a e b, sabendo que:

I. p(x) tem uma raiz real dupla;

II. Os pontos (x_1, 0), (x_2, 0) e (0, b) são vértices de um triângulo retângulo, em que x_1 e x_2 são raizes disitintas de p(x).

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Resolução comentada

Resolução

Seja r a raiz dupla e s a raiz simples, com r\neq s (as raízes x_1 e x_2 do item II são distintas). Como p(x)=(x-r)^2(x-s), usamos as relações de Girard. O coeficiente de x em p é nulo, e o termo independente é b:

  1. Soma: 2r+s=-a
  2. Soma dos produtos dois a dois: r^2+2rs=0
  3. Produto: r^2s=-b

Da relação 2, r(r+2s)=0, logo r=0 ou r=-2s.

  • Se r=0, então b=0 e o ponto (0,b) é a origem, que é uma das raízes. Os três pontos ficam sobre o eixo O_x e não formam triângulo. Esse caso não serve.
  • Então r=-2s, com s\neq 0. Daí a=-(2r+s)=3s e b=-r^2s=-4s^3.

Os vértices do triângulo são A(-2s,0), B(s,0) e C(0,b), com b\neq0.

Onde está o ângulo reto? Em A ou em B ele exigiria que C ficasse na vertical sobre o vértice, ou seja, que a abscissa de C fosse -2s ou s. Como a abscissa de C é 0 e s\neq0, isso não ocorre. Logo o ângulo reto está em C:

\vec{CA}\cdot\vec{CB}=(-2s)(s)+(-b)(-b)=0 \Rightarrow b^2=2s^2.

Substituindo b=-4s^3:

16s^6=2s^2\Rightarrow s^4=\tfrac18=2^{-3}\Rightarrow s=\pm 2^{-3/4}.

Então:

a=3s=\pm 3\cdot2^{-3/4},\qquad b=-4s^3=\mp 4\cdot 2^{-9/4}=\mp 2^{-1/4}.

Conferência: b^2=2^{-1/2} e 2s^2=2\cdot2^{-3/2}=2^{-1/2}, como exigido.

Resposta: (a,b)=\left(3\cdot2^{-3/4},\,-2^{-1/4}\right) ou (a,b)=\left(-3\cdot2^{-3/4},\,2^{-1/4}\right).

Assuntos: Equações polinomiais e relações de Girard, Ponto e reta no plano cartesiano.

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Fonte: ITA 2ª fase 2025 · Matemática. Prova oficial ↗