PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 6 (Matemática) da 2ª fase do ITA 2025
Texto-base das questões 01 a 10 · Matemática
Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária. Os eixos horizontal e vertical são indicados respectivamente por O_x e O_y, e o centro do sistema, por O.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
\overline{AB} : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
AB : denota a reta que passa pelos pontos A e B.
m(\overline{AB}) : denota o comprimento do segmento \overline{AB}.
\max\{i, j\} : denota o maior dentre os valores i e j
\det A : denota o determinante da matriz A.
A^T : denota a transposta da matriz A.
A^{-1} : denota a inversa da matriz A.
(a_{ij}) : representa uma matriz cuja entrada na linha i e coluna j é indexada por a_{ij}.
Uma moeda não viciada é lançada n vezes. Encontre os valores de n que maximizam a probabilidade de sair cara pela quarta vez exatamente no enésimo lançamento.
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Resolução comentada
a) Para a quarta cara sair exatamente no n-ésimo lançamento, precisamos de n\ge 4 e de exatamente 3 caras entre os n-1 primeiros lançamentos. O n-ésimo lançamento tem de ser cara.
A probabilidade é
Para achar o máximo, comparo termos consecutivos:
Como n-3>0, vale P(n+1)>P(n) quando n>2(n-3), isto é, n<6. Vale a igualdade quando n=6. Vale P(n+1)<P(n) quando n>6.
Portanto:
- P(4)<P(5)<P(6).
- P(6)=P(7).
- P(7)>P(8)>P(9)>\dots
Conferindo: P(5)=\frac{4}{32}=\frac{8}{64}, P(6)=\frac{10}{64}, P(7)=\frac{20}{128}=\frac{10}{64} e P(8)=\frac{35}{256}<\frac{40}{256}.
O valor máximo é \frac{10}{64}=\frac{5}{32}, atingido em n=6 e em n=7.
Resposta: n=6 e n=7.
Assuntos: Eventos sucessivos e distribuição binomial, Combinações e binômio de Newton.
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Fonte: ITA 2ª fase 2025 · Matemática. Prova oficial ↗