PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 4 (Matemática) da 2ª fase do ITA 2025
Texto-base das questões 01 a 10 · Matemática
Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária. Os eixos horizontal e vertical são indicados respectivamente por O_x e O_y, e o centro do sistema, por O.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
\overline{AB} : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
AB : denota a reta que passa pelos pontos A e B.
m(\overline{AB}) : denota o comprimento do segmento \overline{AB}.
\max\{i, j\} : denota o maior dentre os valores i e j
\det A : denota o determinante da matriz A.
A^T : denota a transposta da matriz A.
A^{-1} : denota a inversa da matriz A.
(a_{ij}) : representa uma matriz cuja entrada na linha i e coluna j é indexada por a_{ij}.
Seja ABC um triângulo de lados m(AB) = 6, m(AC) = 10 e m(BC) = 14.
Calcule o raio da circunferência externa ao triângulo ABC que tangencia simultaneamente o segmento \overline{BC} e as retas suportes AB e AC.
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Resolução comentada
a)
A circunferência que tangencia o lado \overline{BC} e os prolongamentos dos lados AB e AC é a circunferência ex-inscrita relativa ao vértice A. Seu raio é r_a=\dfrac{S}{p-a}, em que S é a área do triângulo, p é o semiperímetro e a=m(BC).
- Semiperímetro: p=\dfrac{6+10+14}{2}=15, e então p-a=15-14=1.
- Ângulo em A (lei dos cossenos): 14^2=6^2+10^2-2\cdot 6\cdot 10\cos A, ou seja, 196=136-120\cos A. Logo \cos A=-\dfrac12 e A=120^\circ.
- Área: S=\dfrac12\cdot 6\cdot 10\cdot \sen 120^\circ=30\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}=15\sqrt3.
- Raio: r_a=\dfrac{15\sqrt3}{1}=15\sqrt3.
Conferindo por outro caminho: o centro E da ex-inscrita está sobre a bissetriz de A. A tangente de A até a circunferência mede p=15, e o ângulo entre essa bissetriz e AB é 60^\circ. Então r_a=p\cdot\tg 60^\circ=15\sqrt3, o que confirma o resultado.
Raio =15\sqrt3
Assuntos: Triângulos: congruência e pontos notáveis, Áreas e perímetros de polígonos.
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Fonte: ITA 2ª fase 2025 · Matemática. Prova oficial ↗