PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 5 (Matemática) da 2ª fase do ITA 2025
Texto-base das questões 01 a 10 · Matemática
Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária. Os eixos horizontal e vertical são indicados respectivamente por O_x e O_y, e o centro do sistema, por O.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
\overline{AB} : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
AB : denota a reta que passa pelos pontos A e B.
m(\overline{AB}) : denota o comprimento do segmento \overline{AB}.
\max\{i, j\} : denota o maior dentre os valores i e j
\det A : denota o determinante da matriz A.
A^T : denota a transposta da matriz A.
A^{-1} : denota a inversa da matriz A.
(a_{ij}) : representa uma matriz cuja entrada na linha i e coluna j é indexada por a_{ij}.
Usando as aproximações \log_{10} 2 = 0{,}3010, \log_{10} 3 = 0{,}4771 e \log_{10} 7 = 0{,}8450, determine o primeiro algarismo (da esquerda para a direita) do resultado de 3^{100}.
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Resolução comentada
a) Para achar o primeiro algarismo, calculamos o logaritmo decimal de 3^{100} e separamos a parte inteira (característica) da parte decimal (mantissa).
Logo 3^{100} = 10^{47{,}71} = 10^{47}\cdot 10^{0{,}71}.
O número tem 48 algarismos, e o primeiro depende de 10^{0{,}71}. Precisamos descobrir entre quais inteiros d e d+1 esse valor está, ou seja, comparar 0{,}71 com \log_{10} d para d = 1, \dots, 9. Com os dados do enunciado, calculamos:
- \log_{10} 5 = \log_{10}\dfrac{10}{2} = 1 - 0{,}3010 = 0{,}6990
- \log_{10} 6 = \log_{10} 2 + \log_{10} 3 = 0{,}3010 + 0{,}4771 = 0{,}7781
Como 0{,}6990 < 0{,}71 < 0{,}7781, temos
Multiplicando por 10^{47}:
Portanto o primeiro algarismo de 3^{100} é 5.
Assunto: Logaritmos e função logarítmica.
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Fonte: ITA 2ª fase 2025 · Matemática. Prova oficial ↗