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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 3 (Matemática) da 2ª fase do ITA 2025

Matemática · Matemática: Identidades, adição de arcos e arco duplo

Texto-base das questões 01 a 10 · Matemática

Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária. Os eixos horizontal e vertical são indicados respectivamente por O_x e O_y, e o centro do sistema, por O.

i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.

\overline{AB} : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.

AB : denota a reta que passa pelos pontos A e B.

m(\overline{AB}) : denota o comprimento do segmento \overline{AB}.

\max\{i, j\} : denota o maior dentre os valores i e j

\det A : denota o determinante da matriz A.

A^T : denota a transposta da matriz A.

A^{-1} : denota a inversa da matriz A.

(a_{ij}) : representa uma matriz cuja entrada na linha i e coluna j é indexada por a_{ij}.

Sejam \alpha, \beta \in \left[\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3\pi}{2}\right] tais que

\sen(\alpha) - \sen(\beta) = \frac{1}{4} \quad \text{e} \quad \sen(\alpha) - 2\sen(\beta) + \cos(\beta) = \frac{3}{4}.

Calcule o valor de \sen(\alpha + \beta).

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Resolução comentada

a) Chame a=\sen\alpha, b=\sen\beta e c=\cos\beta. As duas condições viram:

  1. a-b=\dfrac14, ou seja, a=b+\dfrac14;
  2. a-2b+c=\dfrac34.

Substituindo a da primeira na segunda: b+\dfrac14-2b+c=\dfrac34, o que dá c=b+\dfrac12.

Usando b^2+c^2=1:

b^2+\left(b+\tfrac12\right)^2=1 \Rightarrow 8b^2+4b-3=0 \Rightarrow b=\frac{-1\pm\sqrt7}{4}.

Como \beta\in\left[\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right], temos \cos\beta\le 0. Então c=b+\frac12\le0, isto é, b\le-\frac12. Isso elimina a raiz com +\sqrt7, que dá b\approx0{,}41. Portanto:

\sen\beta=\frac{-1-\sqrt7}{4},\qquad \cos\beta=\frac{1-\sqrt7}{4}\ (\approx-0{,}41).

Para \alpha:

\sen\alpha=b+\frac14=-\frac{\sqrt7}{4}.

Como \alpha também está no intervalo onde o cosseno é não positivo, \cos\alpha=-\sqrt{1-\frac{7}{16}}=-\dfrac34.

Agora aplicamos a fórmula da soma:

\sen(\alpha+\beta)=\sen\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sen\beta
=\left(-\frac{\sqrt7}{4}\right)\left(\frac{1-\sqrt7}{4}\right)+\left(-\frac34\right)\left(\frac{-1-\sqrt7}{4}\right)
=\frac{-\sqrt7+7+3+3\sqrt7}{16}=\frac{10+2\sqrt7}{16}.

Conferindo numericamente: 0{,}272+0{,}684\approx0{,}956, e \frac{5+\sqrt7}{8}\approx0{,}956.

\sen(\alpha+\beta)=\dfrac{5+\sqrt7}{8}

Assuntos: Identidades, adição de arcos e arco duplo, Ciclo trigonométrico e funções trigonométricas.

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Fonte: ITA 2ª fase 2025 · Matemática. Prova oficial ↗