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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 9 (Matemática) da 2ª fase do ITA 2024

Matemática · Matemática: Equações polinomiais e relações de Girard

Texto-base das questões 01 a 10 · Matemática

Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\} : denota o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : denota o conjunto dos números complexos.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
M_{k,n}(\mathbb{R}) : denota o conjunto das matrizes k \times n de entradas reais.
M_n(\mathbb{R}) : denota o conjunto das matrizes n \times n de entradas reais.
\overline{AB} : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
AB : denota a reta que passa pelos pontos A e B.
m(\overline{AB}) : denota o comprimento do segmento \overline{AB}.
A^T : denota a transposta da matriz A.

Seja z = 1 + ai uma raiz do polinômio p(x) = x^4 + 10x^2 + mx + 29, onde a e m são números reais. Determine a área do quadrilátero cujos vértices são as quatro raízes complexas de p(x) no plano de Argand-Gauss.

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Resolução comentada

a) Os coeficientes de p são reais, então as raízes não reais aparecem em pares conjugados. Tomando a\neq 0 (para z ser de fato complexo), 1\pm ai são raízes. Seja p\pm qi o outro par, com q>0.

Como p(x) não tem termo em x^3, a soma das raízes é zero:

2+2p=0\Rightarrow p=-1.

Logo

p(x)=(x^2-2x+A)(x^2+2x+B),\quad A=1+a^2,\ B=1+q^2.

Expandindo:

x^4+(A+B-4)x^2+2(A-B)x+AB.

Comparando com x^4+10x^2+mx+29:

  1. A+B=14;
  2. AB=29;
  3. m=2(A-B).

Assim, A e B são as raízes de t^2-14t+29=0, ou seja, t=7\pm2\sqrt5. Então a^2 e q^2 valem 6\pm2\sqrt5=(\sqrt5\pm1)^2, e os valores absolutos |a| e q são \sqrt5+1 e \sqrt5-1, em alguma ordem.

No plano de Argand-Gauss, os vértices são (1,\pm a) e (-1,\pm q). Eles formam um trapézio isósceles com bases verticais de comprimentos 2|a| e 2q, e altura (distância entre as retas x=1 e x=-1) igual a 2.

\text{Área}=\frac{(2|a|+2q)}{2}\cdot 2=2(|a|+q)=2\left[(\sqrt5+1)+(\sqrt5-1)\right]=4\sqrt5.

Área =4\sqrt5

Assuntos: Equações polinomiais e relações de Girard, Números complexos.

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Fonte: ITA 2ª fase 2024 · Matemática. Prova oficial ↗