PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 8 (Matemática) da 2ª fase do ITA 2024
Texto-base das questões 01 a 10 · Matemática
Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.
\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\} : denota o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : denota o conjunto dos números complexos.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
M_{k,n}(\mathbb{R}) : denota o conjunto das matrizes k \times n de entradas reais.
M_n(\mathbb{R}) : denota o conjunto das matrizes n \times n de entradas reais.
\overline{AB} : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
AB : denota a reta que passa pelos pontos A e B.
m(\overline{AB}) : denota o comprimento do segmento \overline{AB}.
A^T : denota a transposta da matriz A.
Considere a parábola de equação y = 4x - x^2 com vértice no ponto V. Seja T o trapézio PABV, onde P = (0, 0), A é um ponto com abscissa no intervalo [2, 4] e ordenada nula e B é um ponto na parábola com ordenada positiva. Sabendo que m(\overline{AB}) = \frac{7}{8}\sqrt{5}, determine a área de T.
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Resolução comentada
a) O vértice da parábola y=4x-x^2 é V=(2,4). Em PABV, os lados são PA, AB, BV e VP.
PA está sobre o eixo x. Se PA\parallel BV, então BV seria horizontal e B teria ordenada 4. Isso obrigaria B=V, o que é impossível. Logo, as bases são AB\parallel VP.
O lado VP tem direção (2,4), ou seja, inclinação 2. Então AB também tem inclinação 2. Um segmento com essa inclinação e comprimento \frac{7}{8}\sqrt5 tem \Delta x=\frac78 e \Delta y=\frac74, pois \sqrt{(7/8)^2+(7/4)^2}=\frac78\sqrt5.
Como B tem ordenada positiva e A tem ordenada nula, B=\left(a+\frac78,\ \frac74\right), com A=(a,0).
Impondo que B está na parábola:
Para x_B=\frac12, teríamos a=\frac12-\frac78<0, fora de [2,4]. Portanto x_B=\frac72 e a=\frac72-\frac78=\frac{21}{8}, que está em [2,4].
Assim, A=\left(\frac{21}{8},0\right) e B=\left(\frac72,\frac74\right).
A área do trapézio é \frac{(\text{base maior}+\text{base menor})\cdot h}{2}.
- Bases: m(\overline{PV})=\sqrt{4+16}=2\sqrt5 e m(\overline{AB})=\frac78\sqrt5.
- Altura: distância de A à reta PV, de equação 2x-y=0:
h=\frac{|2\cdot\frac{21}{8}|}{\sqrt5}=\frac{21}{4\sqrt5}. - Área:
S=\frac12\left(2\sqrt5+\frac78\sqrt5\right)\cdot\frac{21}{4\sqrt5}=\frac12\cdot\frac{23}{8}\cdot\frac{21}{4}=\frac{483}{64}.
A fórmula do cadarço com P, A, B, V dá o mesmo valor.
Área de T =\dfrac{483}{64}
Assuntos: Função quadrática, Áreas e perímetros de polígonos.
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Fonte: ITA 2ª fase 2024 · Matemática. Prova oficial ↗