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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 10 (Matemática) da 2ª fase do ITA 2024

Matemática · Matemática: Identidades, adição de arcos e arco duplo

Texto-base das questões 01 a 10 · Matemática

Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\} : denota o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : denota o conjunto dos números complexos.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
M_{k,n}(\mathbb{R}) : denota o conjunto das matrizes k \times n de entradas reais.
M_n(\mathbb{R}) : denota o conjunto das matrizes n \times n de entradas reais.
\overline{AB} : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
AB : denota a reta que passa pelos pontos A e B.
m(\overline{AB}) : denota o comprimento do segmento \overline{AB}.
A^T : denota a transposta da matriz A.

Sabendo que \tan(\alpha + \beta) = -2 e \operatorname{sen}(\alpha) = (4 - \sqrt{5})\operatorname{sen}(\beta) para \alpha, \beta \in (0, \pi/2), calcule

\tan\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right),\ \tan\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)\ \text{e}\ \frac{\tan\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)}{\tan\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)}.
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Resolução comentada

Seja S=\frac{\alpha+\beta}{2} e D=\frac{\alpha-\beta}{2}.

Cálculo de \tan S

Como \alpha,\beta\in(0,\pi/2), temos \alpha+\beta\in(0,\pi). A tangente de \alpha+\beta é negativa, então \alpha+\beta\in(\pi/2,\pi). Logo S\in(\pi/4,\pi/2) e t=\tan S>1.

Usando a tangente do arco duplo:

\frac{2t}{1-t^2}=-2 \Rightarrow 2t=-2+2t^2 \Rightarrow t^2-t-1=0 \Rightarrow t=\frac{1\pm\sqrt5}{2}.

Como t>1, resulta t=\frac{1+\sqrt5}{2}.

Cálculo da razão \tan D/\tan S

Escreva \alpha=S+D e \beta=S-D. Pela transformação de soma em produto:

\operatorname{sen}\alpha-\operatorname{sen}\beta=2\cos S\,\operatorname{sen}D,\qquad \operatorname{sen}\alpha+\operatorname{sen}\beta=2\operatorname{sen}S\,\cos D.

Dividindo, obtemos

\frac{\operatorname{sen}\alpha-\operatorname{sen}\beta}{\operatorname{sen}\alpha+\operatorname{sen}\beta}=\frac{\tan D}{\tan S}.

Com \operatorname{sen}\alpha=k\operatorname{sen}\beta e k=4-\sqrt5, dividimos numerador e denominador por \operatorname{sen}\beta:

\frac{\tan D}{\tan S}=\frac{k-1}{k+1}=\frac{3-\sqrt5}{5-\sqrt5}=\frac{(3-\sqrt5)(5+\sqrt5)}{20}=\frac{10-2\sqrt5}{20}=\frac{5-\sqrt5}{10}.

Cálculo de \tan D

\tan D=\frac{5-\sqrt5}{10}\cdot\frac{1+\sqrt5}{2}=\frac{5+5\sqrt5-\sqrt5-5}{20}=\frac{4\sqrt5}{20}=\frac{\sqrt5}{5}.

Respostas:

  • \tan\frac{\alpha+\beta}{2}=\frac{1+\sqrt5}{2}
  • \tan\frac{\alpha-\beta}{2}=\frac{\sqrt5}{5}
  • \frac{\tan((\alpha-\beta)/2)}{\tan((\alpha+\beta)/2)}=\frac{5-\sqrt5}{10}

Assunto: Identidades, adição de arcos e arco duplo.

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Fonte: ITA 2ª fase 2024 · Matemática. Prova oficial ↗