PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 7 (Matemática) da 2ª fase do ITA 2024
Texto-base das questões 01 a 10 · Matemática
Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.
\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\} : denota o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : denota o conjunto dos números complexos.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
M_{k,n}(\mathbb{R}) : denota o conjunto das matrizes k \times n de entradas reais.
M_n(\mathbb{R}) : denota o conjunto das matrizes n \times n de entradas reais.
\overline{AB} : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
AB : denota a reta que passa pelos pontos A e B.
m(\overline{AB}) : denota o comprimento do segmento \overline{AB}.
A^T : denota a transposta da matriz A.
Determine a equação da circunferência de maior raio que é tangente ao eixo y e passa pelos pontos (1, 4) e (3, 6).
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Resolução comentada
a) Se a circunferência é tangente ao eixo y, a distância do centro (h,k) a esse eixo é o raio: r=|h|.
Os pontos (1,4) e (3,6) pertencem à circunferência, então o centro está na mediatriz do segmento que os une. O ponto médio é (2,5) e a reta pelos dois pontos tem inclinação \frac{6-4}{3-1}=1. A mediatriz tem inclinação -1:
Agora impomos que (1,4) está a distância |h| do centro:
Como 4-k=h-3:
- (1-h)^2+(h-3)^2=h^2
- 1-2h+h^2+h^2-6h+9=h^2
- h^2-8h+10=0
- h=4\pm\sqrt{6}
As duas raízes são positivas, então há duas circunferências, com raios 4+\sqrt6\approx 6{,}45 e 4-\sqrt6\approx1{,}55. A de maior raio corresponde a h=4+\sqrt6, e então k=7-h=3-\sqrt6.
Conferência com (1,4): (1-h)^2=(3+\sqrt6)^2=15+6\sqrt6 e (4-k)^2=(1+\sqrt6)^2=7+2\sqrt6. A soma é 22+8\sqrt6=(4+\sqrt6)^2=r^2. ✓
A equação é:
Resposta: (x-4-\sqrt6)^2+(y-3+\sqrt6)^2=(4+\sqrt6)^2=22+8\sqrt6, com centro (4+\sqrt6,\,3-\sqrt6) e raio 4+\sqrt6.
Assunto: Equação da circunferência.
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Fonte: ITA 2ª fase 2024 · Matemática. Prova oficial ↗