PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 10 (Matemática) da 2ª fase do ITA 2023
Texto-base das questões 01 a 10 · Matemática
Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.
\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\} : denota o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : denota o conjunto dos números complexos.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
M_n(\mathbb{R}) : denota o conjunto das matrizes n \times n de entradas reais.
\overline{AB} : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
A\hat{O}B : denota o ângulo formado pelas semi-retas \overrightarrow{OA} e \overrightarrow{OB}, com vértice no ponto O.
m(\overline{AB}) : denota o comprimento do segmento \overline{AB}.
Em um decágono convexo, de quantas formas podemos escolher duas diagonais que não se interceptam?
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Resolução comentada
a) Vamos contar todos os pares de diagonais e descontar os pares que têm algum ponto em comum. Interpreto "não se interceptam" como não ter ponto comum, nem no interior nem em um vértice.
- Número de diagonais do decágono: \dfrac{10\cdot 7}{2}=35.
- Total de pares de diagonais: \binom{35}{2}=595.
Pares que se cruzam no interior. Quatro vértices quaisquer do decágono formam um quadrilátero convexo, e suas duas diagonais se cruzam em um ponto interior. Reciprocamente, duas diagonais que se cruzam no interior têm 4 extremidades distintas. Logo há \binom{10}{4}=210 pares desse tipo.
Pares que compartilham um vértice. De cada vértice partem 10-3=7 diagonais. Os pares de diagonais com esse vértice em comum são \binom{7}{2}=21. Para os 10 vértices, temos 10\cdot 21=210 pares. Cada par aparece uma só vez, pois duas diagonais distintas compartilham no máximo um vértice.
Os dois casos não se sobrepõem: o primeiro usa 4 vértices distintos e o segundo usa apenas 3.
Pares sem nenhum ponto em comum:
175 formas
Assuntos: Combinações e binômio de Newton, Princípio fundamental da contagem.
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Fonte: ITA 2ª fase 2023 · Matemática. Prova oficial ↗