Correção ITA 2027 · MatemáticaAcompanhe a resolução de cada questão da 2ª fase, ao vivoAcompanhar

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 9 (Matemática) da 2ª fase do ITA 2023

Matemática · Matemática: Lei dos senos e lei dos cossenos

Texto-base das questões 01 a 10 · Matemática

Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\} : denota o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : denota o conjunto dos números complexos.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
M_n(\mathbb{R}) : denota o conjunto das matrizes n \times n de entradas reais.
\overline{AB} : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
A\hat{O}B : denota o ângulo formado pelas semi-retas \overrightarrow{OA} e \overrightarrow{OB}, com vértice no ponto O.
m(\overline{AB}) : denota o comprimento do segmento \overline{AB}.

Um triângulo tem perímetro 20 e seus ângulos internos \alpha, \beta e \gamma satisfazem a igualdade \sen(\alpha) + \sen(\beta) + \sen(\gamma) = 2. Sabendo que um dos lados desse triângulo mede 8, determine a medida dos outros dois lados.

Reportar erro na questão
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Resolução comentada

a) Use a lei dos senos: \frac{a}{\sen\alpha}=\frac{b}{\sen\beta}=\frac{c}{\sen\gamma}=2R. Somando os lados:

a+b+c=2R(\sen\alpha+\sen\beta+\sen\gamma)=2R\cdot 2=4R.

Como o perímetro é 20, temos 4R=20, logo R=5.

Seja a=8 o lado conhecido. Então \sen\alpha=\dfrac{8}{2R}=\dfrac{4}{5} e b+c=20-8=12. Pelo valor de \sen\alpha, \cos\alpha=\pm\dfrac{3}{5}.

Pela lei dos cossenos:

a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha=(b+c)^2-2bc(1+\cos\alpha).
  1. Se \cos\alpha=-\dfrac35: 64=144-\dfrac{4}{5}bc, então bc=100. Com b+c=12, b e c seriam raízes de t^2-12t+100=0, de discriminante 144-400<0. Não existe triângulo.
  2. Se \cos\alpha=\dfrac35: 64=144-\dfrac{16}{5}bc, então bc=25. Agora b e c são raízes de t^2-12t+25=0, ou seja, t=6\pm\sqrt{11}.

Verificação: os lados 8, 6+\sqrt{11}\approx 9{,}32 e 6-\sqrt{11}\approx 2{,}68 formam triângulo, pois 2{,}68+8>9{,}32. Além disso, \sen\beta+\sen\gamma=\dfrac{b+c}{10}=1{,}2, e 0{,}8+1{,}2=2, como pede o enunciado.

Os outros dois lados medem 6+\sqrt{11} e 6-\sqrt{11}.

Assunto: Lei dos senos e lei dos cossenos.

Reportar erro na resolução
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Ver como caiu na prova Questão 9 no caderno Matemática da 2ª fase do ITA 2023

Fonte: ITA 2ª fase 2023 · Matemática. Prova oficial ↗