PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 10 (Matemática) da 2ª fase do ITA 2022
Texto-base das questões 01 a 10 · Matemática
Convenções: Consideramos o sistema de coordenadas cartesiano a menos que haja indicação contrária.
\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\} : denota o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : denota o conjunto dos números complexos.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
M_n(\mathbb{R}) : denota o conjunto das matrizes n \times n de entradas reais.
\overline{AB} : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
A\hat{O}B : denota o ângulo formado pelas semi-retas \overrightarrow{OA} e \overrightarrow{OB}, com vértice no ponto O.
m(\overline{AB}) : denota o comprimento do segmento \overline{AB}.
Considere um octaedro regular de aresta de comprimento l_1. Inscreva nesse octaedro um cubo cujos vértices estão nos baricentros das faces do octaedro. Dentro desse cubo inscreva um novo octaedro regular de aresta de comprimento l_2 cujos vértices estão nos centros das faces do cubo. Continue com esse processo obtendo uma sequência l_i para i \in \mathbb{N}. Determine então o valor da razão l_{10}/l_1.
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Resolução comentada
a) Coloque o octaedro regular com centro na origem e vértices (\pm a,0,0), (0,\pm a,0), (0,0,\pm a). A aresta é a distância entre dois vértices vizinhos, por exemplo (a,0,0) e (0,a,0), então l_1=a\sqrt2.
Cubo. O baricentro de uma face é a média dos três vértices. Para a face de vértices (a,0,0), (0,a,0), (0,0,a), ele é \left(\tfrac a3,\tfrac a3,\tfrac a3\right). Os oito baricentros são \left(\pm\tfrac a3,\pm\tfrac a3,\pm\tfrac a3\right), que formam um cubo de aresta c=\dfrac{2a}{3}.
Novo octaedro. Os centros das faces do cubo estão a uma distância \dfrac c2=\dfrac a3 do centro. Eles são os vértices de um octaedro regular do mesmo tipo do primeiro, com a_2=\dfrac a3. Sua aresta é
Sequência. O raciocínio vale em qualquer etapa, então l_{i+1}=\dfrac{l_i}{3}. Trata-se de uma progressão geométrica de razão \dfrac13, e
Resposta: \dfrac{l_{10}}{l_1}=\dfrac{1}{3^9}=\dfrac{1}{19683}
Assuntos: Poliedros e relação de Euler, Progressão geométrica.
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Fonte: ITA 2ª fase 2022 · Matemática. Prova oficial ↗