Questão 9 (Matemática) da 2ª fase do ITA 2022

Question

Sejam P_1 = (0, 6), P_2 = (1, 5) e P_3 = (2, 6) e sejam C_1, C_2 e C_3 circunferências centradas em P_1, P_2 e P_3, respectivamente. Sabendo que existe uma reta horizontal que é tangente a C_1, C_2 e C_3 determine C_1 \cap C_2 \cap C_3 quando este não for vazio.

Answer 1

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Questão 9 (Matemática) da 2ª fase do ITA 2022

Matemática · Matemática: Equação da circunferência

Texto-base das questões 01 a 10 · Matemática

Convenções: Consideramos o sistema de coordenadas cartesiano a menos que haja indicação contrária.

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\} : denota o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : denota o conjunto dos números complexos.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
M_n(\mathbb{R}) : denota o conjunto das matrizes n \times n de entradas reais.
\overline{AB} : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
A\hat{O}B : denota o ângulo formado pelas semi-retas \overrightarrow{OA} e \overrightarrow{OB}, com vértice no ponto O.
m(\overline{AB}) : denota o comprimento do segmento \overline{AB}.

Sejam P_1 = (0, 6), P_2 = (1, 5) e P_3 = (2, 6) e sejam C_1, C_2 e C_3 circunferências centradas em P_1, P_2 e P_3, respectivamente. Sabendo que existe uma reta horizontal que é tangente a C_1, C_2 e C_3 determine C_1 \cap C_2 \cap C_3 quando este não for vazio.

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Resolução comentada

a) Seja y=k a reta horizontal tangente. O raio de cada circunferência é a distância do centro à reta:

r_1=r_3=|6-k|,\qquad r_2=|5-k|.

Chame d=6-k. Então r_1=r_3=|d| e 5-k=d-1, ou seja, r_2=|d-1|.

Interseção de C_1 e C_3. Os centros (0,6) e (2,6) têm o mesmo raio, então os pontos comuns estão na mediatriz, x=1. Em x=1:

1+(y-6)^2=d^2\Rightarrow y=6\pm s,\quad s=\sqrt{d^2-1}.

Isso exige |d|\ge 1.

Condição para estar em C_2. O ponto (1,6\pm s) está a distância |1\pm s| de P_2=(1,5). Essa distância deve ser |d-1|:

(1\pm s)^2=(d-1)^2\Rightarrow 1\pm 2s+d^2-1=d^2-2d+1\Rightarrow \pm 2s=1-2d.

Elevando ao quadrado:

4(d^2-1)=1-4d+4d^2\Rightarrow -4=1-4d\Rightarrow d=\tfrac54.

Então s=\sqrt{\tfrac{25}{16}-1}=\tfrac34 e 1-2d=-\tfrac32. Isso só é satisfeito com o sinal negativo (-2s=-\tfrac32), isto é, y=6-\tfrac34=\tfrac{21}{4}.

Verificação. Aqui k=6-\tfrac54=\tfrac{19}{4}, com r_1=r_3=\tfrac54 e r_2=\tfrac14.

Distância ao centro P_1: \sqrt{1+\left(\tfrac34\right)^2}=\tfrac54 ✓.
Distância ao centro P_3: igual à anterior, \tfrac54 ✓.
Distância ao centro P_2: \tfrac{21}{4}-5=\tfrac14 ✓.

O caso d=0 (raios nulos) não define circunferências. Logo a interseção não vazia ocorre só para k=\tfrac{19}{4}, e consiste em um único ponto:

C_1\cap C_2\cap C_3=\left\{\left(1,\tfrac{21}{4}\right)\right\}

Assunto: Equação da circunferência.

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Questão 9 no caderno Matemática da 2ª fase do ITA 2022

Fonte: ITA 2ª fase 2022 · Matemática. Prova oficial ↗