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Questão 4 (Matemática) da 2ª fase do ITA 2021

Matemática · Matemática: Equação da circunferência

Texto-base das questões 01 a 10 · Matemática

Notações

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \cdots\} : o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : o conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : o conjunto dos números complexos.
i : unidade imaginária, i^2 = -1.

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

Determine todos os pontos (x,y) que pertencem à circunferência de centro (5,0) e raio 5, que satisfazem a equação:

\sqrt{3x - y - 4} = \sqrt{x^2 - 7x - 5y - 4}.
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Resolução comentada

a) Escreva a circunferência de centro (5,0) e raio 5:

(x-5)^2+y^2=25 \iff x^2-10x+y^2=0.

Na equação com raízes, os dois radicandos precisam ser iguais e não negativos. Igualando:

3x-y-4=x^2-7x-5y-4 \iff x^2-10x-4y=0.

Da circunferência, x^2-10x=-y^2. Substituindo:

-y^2-4y=0 \iff y(y+4)=0 \iff y=0 \text{ ou } y=-4.
  • Para y=0: x^2-10x=0, logo x=0 ou x=10.
    • Com x=0, o radicando é 3\cdot 0-0-4=-4<0. Não serve.
    • Com x=10, o radicando é 30-0-4=26>0. Serve, e o outro lado dá 100-70-0-4=26.
  • Para y=-4: x^2-10x+16=0, logo x=2 ou x=8.
    • Com x=2, o radicando é 6+4-4=6>0, e o outro lado dá 4-14+20-4=6. Serve.
    • Com x=8, o radicando é 24+4-4=24>0, e o outro lado dá 64-56+20-4=24. Serve.

A condição de existência da raiz eliminou o ponto (0,0). Os pontos são:

(10,0), (2,-4) e (8,-4).

Assuntos: Equação da circunferência, Ponto e reta no plano cartesiano.

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Fonte: ITA 2ª fase 2021 · Matemática. Prova oficial ↗