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Questão 5 (Matemática) da 2ª fase do ITA 2021

Matemática · Matemática: Polinômios

Texto-base das questões 01 a 10 · Matemática

Notações

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \cdots\} : o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : o conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : o conjunto dos números complexos.
i : unidade imaginária, i^2 = -1.

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

Determine as raízes comuns aos polinômios:

p(x) = x^5 + x^4 - 8x^2 - 9x + 15 \quad \text{e} \quad q(x) = 3x^4 + 6x^3 + 13x^2 - 4x - 10.
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Resolução comentada

Resolução. Uma raiz comum de p e q também é raiz de qualquer combinação ap+bq com a,b polinômios. Por isso basta fazer o algoritmo de Euclides e achar o MDC.

  1. Calculamos 9p-(3x-1)q:
(3x-1)q=9x^5+15x^4+33x^3-25x^2-26x+10
9p=9x^5+9x^4-72x^2-81x+135
9p-(3x-1)q=-6x^4-33x^3-47x^2-55x+125
  1. Somamos 2q=6x^4+12x^3+26x^2-8x-20:
-21x^3-21x^2-63x+105=-21\,(x^3+x^2+3x-5)
  1. Toda raiz comum é raiz de g(x)=x^3+x^2+3x-5. Como g(1)=0, fatoramos:
g(x)=(x-1)(x^2+2x+5)

As raízes de g são 1 e -1\pm 2i.

  1. Testamos cada candidata em q.
  • x=1: q(1)=3+6+13-4-10=8\neq 0. Logo 1 não é raiz comum, embora seja raiz de p.
  • x^2+2x+5: usamos x^2=-2x-5. Então x^3=-2x^2-5x=-x+10 e x^4=-x^2+10x=12x+5. Substituindo em q:
q=3(12x+5)+6(-x+10)+13(-2x-5)-4x-10=0

Portanto x^2+2x+5 divide q. Como ele divide g, também divide p, pois 9p=(3x-1)q-21g.

As raízes comuns são as de x^2+2x+5=0:

x=-1+2i e x=-1-2i

Assunto: Polinômios.

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Fonte: ITA 2ª fase 2021 · Matemática. Prova oficial ↗