PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 3 (Matemática) da 2ª fase do ITA 2021
Texto-base das questões 01 a 10 · Matemática
Notações
\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \cdots\} : o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : o conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : o conjunto dos números complexos.
i : unidade imaginária, i^2 = -1.
Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.
O primeiro termo de uma progressão geométrica de números reais é 1 e a soma de seus primeiros 79 termos é igual ao produto de seus primeiros 13 termos. Determine:
(a) a soma dos 40 primeiros termos;
(b) o produto dos 7 primeiros termos.
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Resolução comentada
a) Seja q a razão da PG, com a_1=1, então a_n=q^{n-1}.
O produto dos 13 primeiros termos é
Se q=1, a soma dos 79 termos é 79 e o produto é 1, então q=1 não serve.
Para q\neq1, a soma dos 79 primeiros termos é \dfrac{q^{79}-1}{q-1}. Igualando ao produto:
Como q é real, q=\pm1. Já excluímos q=1, logo q=-1.
Conferindo: com q=-1 a sequência é 1,-1,1,-1,\dots. A soma de 79 termos (quantidade ímpar) é 1, e o produto de 13 termos é (-1)^{78}=1. Os dois valores coincidem.
A soma dos 40 primeiros termos tem 20 pares 1+(-1)=0:
Resposta: 0.
b) O produto dos 7 primeiros termos é
Também dá para ver direto: entre os 7 termos 1,-1,1,-1,1,-1,1 há três fatores -1, então o produto é negativo.
Resposta: -1.
Assunto: Progressão geométrica.
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Fonte: ITA 2ª fase 2021 · Matemática. Prova oficial ↗