Correção ITA 2027 · MatemáticaAcompanhe a resolução de cada questão da 2ª fase, ao vivoAcompanhar

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 9 (Matemática) da 2ª fase do ITA 2020

Matemática · Matemática: Equações polinomiais e relações de Girard

Texto-base das questões 01 a 10 · Matemática

Notações

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}: conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : conjunto dos números complexos.
i : unidade imaginária, i^2 = -1.
[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}.
\overline{AB} : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
A\hat{O}B : ângulo formado pelos segmentos \overline{OA} e \overline{OB}, com vértice no ponto O.
C \cup D = união entre os conjuntos C e D.

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

Determine todos os números inteiros k entre 0 e 200 para os quais o polinômio p_k(x) = x^3 - x^2 - k possui uma única raiz inteira. Para cada um desses valores de k, determine a raiz inteira correspondente.

Reportar erro na questão
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Resolução comentada

a) Uma raiz inteira x de p_k satisfaz x^3-x^2=k, ou seja, k=f(x) com f(x)=x^2(x-1). Basta então ver para quais inteiros x o valor f(x) cai em [0,200].

  • Se x\le -1: x^2>0 e x-1<0, logo f(x)<0. Não serve.
  • x=0 e x=1: f=0.
  • Para x\ge 2, f é crescente, e os valores são:
f(2)=4,\quad f(3)=18,\quad f(4)=48,\quad f(5)=100,\quad f(6)=180,\quad f(7)=294>200.

Caso k=0: p_0(x)=x^2(x-1) tem as raízes inteiras 0 e 1. São duas raízes inteiras, então k=0 não serve.

Casos k=4,18,48,100,180: a raiz inteira é m=2,3,4,5,6. Para f crescente em x\ge 2, e como f\le 0 para x\le 1, não há outra raiz inteira. Podemos conferir fatorando x^3-x^2-m^2(m-1) por (x-m):

x^3-x^2-k=(x-m)\,(x^2+(m-1)x+m(m-1)).

O discriminante do fator quadrático é

\Delta=(m-1)^2-4m(m-1)=(m-1)(1-3m)<0 \quad (m\ge 2),

logo as outras duas raízes são complexas não reais. A raiz inteira é única.

Resumo:

  1. k=4: (x-2)(x^2+x+2), raiz 2.
  2. k=18: (x-3)(x^2+2x+6), raiz 3.
  3. k=48: (x-4)(x^2+3x+12), raiz 4.
  4. k=100: (x-5)(x^2+4x+20), raiz 5.
  5. k=180: (x-6)(x^2+5x+30), raiz 6.

Resposta: k\in\{4,\,18,\,48,\,100,\,180\}, com raízes inteiras 2,\,3,\,4,\,5,\,6, respectivamente.

Assuntos: Equações polinomiais e relações de Girard, Divisibilidade, MMC e MDC.

Reportar erro na resolução
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Ver como caiu na prova Questão 9 no caderno Matemática da 2ª fase do ITA 2020

Fonte: ITA 2ª fase 2020 · Matemática. Prova oficial ↗