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Questão 10 (Matemática) da 2ª fase do ITA 2020

Matemática · Matemática: Pirâmides e tronco de pirâmide

Texto-base das questões 01 a 10 · Matemática

Notações

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}: conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : conjunto dos números complexos.
i : unidade imaginária, i^2 = -1.
[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}.
\overline{AB} : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
A\hat{O}B : ângulo formado pelos segmentos \overline{OA} e \overline{OB}, com vértice no ponto O.
C \cup D = união entre os conjuntos C e D.

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

Considere uma pirâmide reta P cuja base é um hexágono regular de lado l. As faces laterais dessa pirâmide formam um ângulo diedro de 75^\circ com a base da própria pirâmide. Sabendo que P está inscrita em uma esfera, determine o raio dessa esfera.

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Resolução comentada

a)

Seja O o centro da base, que é um hexágono regular de lado l. Nele, a distância de O a cada vértice é l e o apótema (distância de O ao meio de um lado) é

a=\frac{l\sqrt3}{2}.

O ângulo diedro entre uma face lateral e a base é o ângulo entre o apótema da base e o apótema da pirâmide. Na pirâmide reta, a altura h cai em O. Assim, no triângulo retângulo formado por h, a e o apótema da pirâmide, temos

\tg 75^\circ=\frac{h}{a}.

Usando \tg75^\circ=\tg(45^\circ+30^\circ)=2+\sqrt3:

h=\frac{l\sqrt3}{2}(2+\sqrt3)=\frac{l(2\sqrt3+3)}{2}.

Raio da esfera. O centro da esfera está no eixo da pirâmide, a uma distância R do vértice V e de cada vértice da base. Ele fica a h-R do plano da base (em módulo). Aplicando Pitágoras entre o centro, O e um vértice da base:

(h-R)^2+l^2=R^2 \;\Rightarrow\; R=\frac{h^2+l^2}{2h}.

Calculando:

  1. h^2=\dfrac{l^2(3+2\sqrt3)^2}{4}=\dfrac{l^2(21+12\sqrt3)}{4}
  2. h^2+l^2=\dfrac{l^2(25+12\sqrt3)}{4}
  3. 2h=l(3+2\sqrt3)

Logo

R=\frac{l(25+12\sqrt3)}{4(3+2\sqrt3)}.

Racionalizando, multiplicamos por (2\sqrt3-3). O denominador vira 4\cdot(12-9)=12. O numerador vira (25+12\sqrt3)(2\sqrt3-3)=50\sqrt3-75+72-36\sqrt3=14\sqrt3-3.

Portanto

R=\frac{(14\sqrt3-3)\,l}{12}\approx 1{,}77\,l.

Resposta: R=\dfrac{(14\sqrt3-3)\,l}{12}

Assuntos: Pirâmides e tronco de pirâmide, Esfera.

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Fonte: ITA 2ª fase 2020 · Matemática. Prova oficial ↗