PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 8 (Matemática) da 2ª fase do ITA 2020
Texto-base das questões 01 a 10 · Matemática
Notações
\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}: conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : conjunto dos números complexos.
i : unidade imaginária, i^2 = -1.
[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}.
\overline{AB} : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
A\hat{O}B : ângulo formado pelos segmentos \overline{OA} e \overline{OB}, com vértice no ponto O.
C \cup D = união entre os conjuntos C e D.
Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.
Considere a circunferência \lambda de centro O passando por um ponto A. Sejam B um ponto tal que A é o ponto médio de \overline{OB} e M um ponto de \lambda tal que A\hat{O}M = 100^\circ. Seja r a reta tangente à \lambda passando por M. Seja \overline{DE} a projeção ortogonal dos segmento \overline{AB} sobre a reta r. Determine, em graus, a medida do ângulo A\hat{E}B.
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Resolução comentada
a) Use coordenadas com O=(0,0), raio 1, A=(1,0) e B=(2,0), já que A é o ponto médio de \overline{OB}. Então M=(\cos 100^\circ,\ \sen 100^\circ).
A reta r é tangente em M, logo é perpendicular a \overline{OM}. Vou usar o referencial girado, com eixo n na direção de \overrightarrow{OM} e eixo t na direção de r. Nele, r é a reta n=1.
Sejam c=\cos100^\circ e s=\sen100^\circ. As coordenadas (t,n) de cada ponto são (P\cdot t,\ P\cdot M), com t=(-s,\,c):
- A=(-s,\ c)
- B=(-2s,\ 2c)
Projetar sobre r mantém a coordenada t e leva n a 1. Assim, D=(-s,1) é a projeção de A e E=(-2s,1) é a projeção de B.
Os vetores a partir de E são:
- \overrightarrow{EB}=(0,\ 2c-1). Como c<0, tem n<0 e aponta "para baixo", perpendicular a r.
- \overrightarrow{EA}=(s,\ c-1), com s>0 e c-1<0.
Portanto o ângulo A\hat{E}B é o ângulo entre \overrightarrow{EA} e a vertical para baixo, e
Pela identidade \dfrac{\sen\theta}{1-\cos\theta}=\dfrac{2\sen\frac\theta2\cos\frac\theta2}{2\sen^2\frac\theta2}=\cotg\dfrac\theta2, com \theta=100^\circ:
Como o ângulo é agudo, A\hat{E}B=40^\circ.
A\hat{E}B = 40^\circ
Assuntos: Circunferência: ângulos, cordas e tangência, Triângulos: congruência e pontos notáveis.
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Fonte: ITA 2ª fase 2020 · Matemática. Prova oficial ↗