PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 9 do IME 2020

Prova objetiva · Matemática · Matemática: Princípio fundamental da contagem

Diversos modelos de placas de identificação de veículos já foram adotados no Brasil. Considere os seguintes modelos de placas e a descrição de sua composição alfanumérica:

Modelo 1: AB123 (duas letras seguidas de três números)
Modelo 2: AB1234 (duas letras seguidas de quatro números)
Modelo 3: ABC1234 (três letras seguidas de quatro números)
Modelo 4: ABC1D23 (três letras seguidas de um número, uma letra e dois números)

Sejam c_1, c_2, c_3 e c_4 as quantidades das combinações alfanuméricas possíveis para os modelos 1, 2, 3 e 4, respectivamente. Os números c_1, c_2, c_3 e c_4 são termos de uma progressão aritmética com infinitos termos com a maior razão possível. A soma dos algarismos da razão dessa progressão é:

Observação:

  • considere o alfabeto com 26 letras.
  1. A
    11
  2. B
    12
  3. C
    14
  4. D
    16
  5. E
    19
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Resolução comentada

Primeiro, conte as combinações de cada modelo com o princípio multiplicativo (26 letras e 10 algarismos):

  • c_1 = 26^2\cdot 10^3 = 676\,000
  • c_2 = 26^2\cdot 10^4 = 6\,760\,000
  • c_3 = 26^3\cdot 10^4 = 175\,760\,000
  • c_4 = 26^3\cdot 10\cdot 26\cdot 10^2 = 26^4\cdot 10^3 = 456\,976\,000

Os quatro números são termos de uma mesma PA infinita. Então a diferença entre dois termos quaisquer é um múltiplo inteiro da razão r. Logo r divide todas as diferenças, e a maior razão possível é o mdc dessas diferenças.

Em termos de 26^2\cdot 10^3 = 676\,000, fatorando:

  • c_1 = 676\,000\cdot 1
  • c_2 = 676\,000\cdot 10
  • c_3 = 676\,000\cdot 260
  • c_4 = 676\,000\cdot 676

Diferenças em unidades de 676\,000: c_2-c_1 = 9, c_3-c_2 = 250, c_4-c_3 = 416.

\text{mdc}(9,250)=1, então o mdc de todas é 1.

Portanto r = 676\,000, e a soma dos algarismos é 6+7+6 = 19.

Observe que a ordem dos termos na PA não precisa ser c_1,c_2,c_3,c_4, mas o mdc das diferenças é o mesmo de qualquer forma.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ANão corresponde à soma dos algarismos de nenhuma razão obtida pelo mdc das diferenças.
  • BResulta de erro na contagem das combinações ou no mdc.
  • CSoma de algarismos de um divisor errado da razão, sem calcular o mdc corretamente.
  • DResulta de erro de contagem, como tratar letras e números com repetição proibida.

Assuntos: Princípio fundamental da contagem, Divisibilidade, MMC e MDC, Progressão aritmética.

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Fonte: IME 2020 · Prova objetiva. Prova oficial ↗