Questão 8 do IME 2020

A característica de \log x é a parte inteira e a mantissa é a parte decimal, com 0\le M<1.

Como \log A e \log B têm a mesma mantissa M, escreva:

• \log A = C + M, pois C é a característica de \log A;
• \log B = k + M, com k natural.

Numa PG, B^2 = A\cdot C. Aplicando o logaritmo:

Como M=\log C, o lado direito vale C+2M. Então 2k+2M = C+2M, ou seja, C=2k. Portanto C é par.

Como M=\log C é uma mantissa, 0\le \log C<1, logo C<10. O maior valor par é C=8, com k=4 e M=\log 8=3\log 2.

Assim, A=8\cdot10^8, B=8\cdot10^4 e C=8. Eles formam uma PG de razão 10^{-4}, e todos são naturais.

Agora calculamos:

Como 3M=\log 512\approx 2{,}709, a parte inteira de 3M é 2. A mantissa de \log(ABC) é a parte decimal de 12+3M, que é 3M-2.

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa C engana quem soma as três mantissas e esquece que 3M\approx2{,}709 passa de 1, então é preciso descontar a parte inteira (2).

Por que as outras alternativas estão erradas

• AIgnora que 3M>1 e supõe que a mantissa continua sendo M.
• BSoma só duas parcelas de M e não percebe que a soma das mantissas passa de 1.
• CSoma as três mantissas, mas esquece de retirar a parte inteira de 3M, e a mantissa deve estar em [0,1).
• ESubtrai 3 em vez de 2; 3M\approx 2{,}709 tem parte inteira 2, e 3M-3 seria negativo.

Assuntos: Logaritmos e função logarítmica, Progressão geométrica.

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