PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 10 do IME 2020
Considere a progressão geométrica a_1, a_2, \cdots, a_n, \cdots e a progressão aritmética b_1, b_2, \cdots, b_n, \cdots com as condições:
a_1 > 0;
^{a_2}/_{a_1} > 1\text{; e}
b_2 - b_1 > 0
Para que [\log_\alpha(a_n) - b_n] não dependa de n, o valor de \alpha deverá ser:
- A(^{a_2}/_{a_1})^{1/b_2}
- B(^{a_2}/_{a_1})^{1/b_1}
- C(^{a_2}/_{a_1})^{1/(b_2 - b_1)}
- D(^{a_2}/_{a_1})^{1/(b_1 - b_2)}
- E(^{a_2}/_{a_1})^{1/(b_1 b_2)}
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada
Sejam q = a_2/a_1 > 1 a razão da PG e r = b_2 - b_1 > 0 a razão da PA.
Os termos gerais são:
a_n = a_1 q^{n-1}, \qquad b_n = b_1 + (n-1)r
- Aplicando o logaritmo na base \alpha (com \alpha>0, \alpha\neq1):
\log_\alpha(a_n) = \log_\alpha a_1 + (n-1)\log_\alpha q
- Calculando a diferença:
\log_\alpha(a_n) - b_n = \log_\alpha a_1 - b_1 + (n-1)\left(\log_\alpha q - r\right)
O primeiro bloco, \log_\alpha a_1 - b_1, é constante. Já o termo (n-1)(\log_\alpha q - r) varia com n, a menos que o fator entre parênteses seja zero.
- Impondo a condição de que a expressão não dependa de n:
\log_\alpha q = r \;\Rightarrow\; \alpha^{r} = q \;\Rightarrow\; \alpha = q^{1/r}
- Substituindo q e r:
\alpha = \left(\frac{a_2}{a_1}\right)^{1/(b_2-b_1)}
Como q>1 e r>0, temos \alpha>1, que é uma base válida.
Alternativa C.
Por que as outras alternativas estão erradas
- Ausa b_2 como expoente, mas a razão da PA é b_2-b_1, não b_2.
- Busa b_1, o primeiro termo da PA, em vez de sua razão.
- Dinverte o sinal da razão, usando b_1-b_2<0, o que daria \log_\alpha q=-r.
- Eusa o produto b_1b_2, que não tem relação com a razão da PA.
Assuntos: Progressão geométrica, Logaritmos e função logarítmica, Progressão aritmética.
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Fonte: IME 2020 · Prova objetiva. Prova oficial ↗